Страница 97 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом. Из точки O проведём перпендикуляр OH к стороне AB (точка H лежит на AB).

По условию задачи, этот перпендикуляр делит сторону AB на два отрезка. Пусть $AH = 3$ см и $HB = 12$ см.

1. Найдем длину стороны ромба. Длина стороны $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = AB = AH + HB = 3 + 12 = 15$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (диагонали ромба перпендикулярны, значит $\angle AOB = 90^\circ$). В этом треугольнике OH — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

3. Воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$OH^2 = AH \cdot HB$

$OH^2 = 3 \cdot 12 = 36$

$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

4. Теперь найдём половины диагоналей ромба, которые являются катетами AO и BO в треугольнике $\triangle AOB$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOH$ и $\triangle BOH$.

По теореме Пифагора для $\triangle AOH$:

$AO^2 = AH^2 + OH^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$AO = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle BOH$:

$BO^2 = HB^2 + OH^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$

$BO = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

5. Теперь найдём длины полных диагоналей $d_1$ и $d_2$ ромба:

$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.

$d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

6. Площадь ромба вычисляется по формуле как половина произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{5}) \cdot (12\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$ см$^2$.

Ответ: 180 см$^2$.

239. Сторона треугольника равна 16 см, а высота, проведённая к ней, — 3,5 см. Найдите площадь треугольника.

239. Сторона треугольника равна 16 см, а высота, проведённая к ней, — 3,5 см. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника ($S$) можно найти, используя формулу, которая связывает длину стороны и высоту, опущенную на эту сторону. Формула имеет следующий вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

где $a$ — это длина стороны треугольника, а $h$ — длина высоты, проведённой к этой стороне.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Сторона $a = 16$ см.
Высота $h = 3,5$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см} \cdot 3,5 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$S = 8 \text{ см} \cdot 3,5 \text{ см} = 28 \text{ см}^2$

Ответ: 28 см².

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 5 см и 14 см.

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 5 см и 14 см.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника используется формула, согласно которой площадь равна половине произведения длин его катетов. Обозначим катеты как $a$ и $b$, а площадь как $S$. Формула выглядит следующим образом:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Согласно условию задачи, длины катетов равны:

$a = 5$ см

$b = 14$ см

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14$

Выполним умножение:

$S = \frac{1}{2} \cdot 70$

$S = 35$

Так как длины катетов были даны в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах.

Ответ: $35 \text{ см}^2$.

241. Площадь треугольника равна $92 \text{ см}^2$, а одна из его сторон — $4 \text{ см}$. Найдите высоту треугольника, проведённую к этой стороне.

241. Площадь треугольника равна 92 $cm^2$, а одна из его сто-рон — 4 см. Найдите высоту треугольника, проведён-ную к этой стороне.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле, связывающей сторону треугольника ($a$) и высоту ($h$), проведённую к этой стороне:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

В условии задачи даны:

• Площадь треугольника $S = 92$ см²
• Длина стороны $a = 4$ см

Нам нужно найти высоту $h$. Для этого выразим $h$ из формулы площади:

$h = \frac{2S}{a}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$h = \frac{2 \cdot 92}{4}$

Выполним вычисления:

$h = \frac{184}{4}$

$h = 46$ см

Ответ: 46 см.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 119, равновелики?

Рис. 119

Треугольник а:

Основание = 4, Высота = 4

Площадь $S_а = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Треугольник б:

Основание = 6, Высота = 2

Площадь $S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

Треугольник в:

Основание = 4, Высота = 4

Площадь $S_в = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Треугольник г:

Основание = 4, Высота = 4

Площадь $S_г = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Треугольник д:

Основание = 8, Высота = 2

Площадь $S_д = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$

Треугольник е:

Основание = 6, Высота = 2

Площадь $S_е = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

Треугольник ж:

Основание = 4, Высота = 4

Площадь $S_ж = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Равновеликие треугольники:

Треугольники а, в, г, д, ж имеют площадь 8.

Треугольники б, е имеют площадь 6.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисун-ке 119, равновелики?

Рис. 119

Равновеликими называются фигуры, имеющие равные площади. Чтобы определить, какие из изображённых треугольников равновелики, найдём площадь каждого из них. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу (ед.). Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Вычислим площади каждого треугольника:

• а) Основание треугольника равно 3 ед., а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 ед. Площадь: $S_а = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.
• б) Основание треугольника равно 4 ед., а высота, проведённая к этому основанию, равна 2 ед. Площадь: $S_б = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ кв. ед.
• в) Основание треугольника равно 3 ед., а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 ед. Площадь: $S_в = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.
• г) Данный треугольник является прямоугольным. Его катеты, равные 3 ед. и 3 ед., можно принять за основание и высоту. Площадь: $S_г = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.
• д) Основание треугольника равно 6 ед., а высота, проведённая к этому основанию, равна 2 ед. Площадь: $S_д = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ кв. ед.
• е) За основание можно принять вертикальную сторону, её длина равна 3 ед. Высота, проведённая к этому основанию, равна 4 ед. Площадь: $S_е = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ кв. ед.
• ж) Основание треугольника равно 3 ед., а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 ед. Площадь: $S_ж = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

Сравнив полученные площади, мы видим, что есть две группы равновеликих треугольников:

• Треугольники а, в, г, ж имеют одинаковую площадь, равную $4,5$ кв. ед.
• Треугольники д и е имеют одинаковую площадь, равную $6$ кв. ед.

Треугольник б с площадью $4$ кв. ед. не является равновеликим ни одному из других треугольников.

Ответ: равновеликими являются треугольники а, в, г, ж, а также треугольники д и е.

243. Найтите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см.

243. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см.

Для нахождения площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

В условии задачи даны основание $a = 16$ см и боковая сторона $b = 10$ см. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить высоту $h$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, мы получаем два одинаковых прямоугольных треугольника.

Катетами каждого из этих прямоугольных треугольников будут высота $h$ и половина основания ($\frac{a}{2}$), а гипотенузой будет боковая сторона $b$.

Найдем длину половины основания:
$\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора ($b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$), найдем высоту $h$:
$10^2 = h^2 + 8^2$
$100 = h^2 + 64$
$h^2 = 100 - 64$
$h^2 = 36$
$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Зная высоту, мы можем вычислить площадь равнобедренного треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен:

1) $60^\circ$;

2) $135^\circ$.

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен:

1) $60^\circ$;

2) $135^\circ$.

Для нахождения площади треугольника, зная две его стороны и угол между ними, используется формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

где $a$ и $b$ — известные стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

По условию задачи, стороны треугольника равны $a = 6$ см и $b = 5$ см.

1)

Найдём площадь треугольника, если угол между сторонами равен $60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$ см².

Ответ: $\frac{15\sqrt{3}}{2}$ см².

2)

Найдём площадь треугольника, если угол между сторонами равен $135^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(135^\circ)$

Используя формулу приведения, найдём значение синуса $135^\circ$: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$ см².

Ответ: $\frac{15\sqrt{2}}{2}$ см².

245. Сторона квадрата ABCD равна 10 см. На его сторонах BC и CD отмечены точки K и M так, что $BK = 2 \text{ см}$, $DM = 6 \text{ см}$ (рис. 120). Найдите площадь треугольника AKM.

245. Сторона квадрата $ABCD$ равна 10 см. На его сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $K$ и $M$ так, что $BK = 2$ см, $DM = 6$ см (рис. 120). Найдите площадь треугольника $AKM$.

Рис. 120

Для того чтобы найти площадь треугольника AKM, мы можем вычислить площадь всего квадрата ABCD и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников: ABK, KCM и ADM.

1. Найдем площадь квадрата ABCD. Сторона квадрата по условию равна 10 см, следовательно, его площадь $S_{ABCD}$ равна:

$S_{ABCD} = 10^2 = 100$ см².

2. Теперь вычислим площади трех прямоугольных треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника ABK ($\angle B = 90^\circ$) с катетами $AB = 10$ см и $BK = 2$ см равна:

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10$ см².

Площадь прямоугольного треугольника ADM ($\angle D = 90^\circ$) с катетами $AD = 10$ см и $DM = 6$ см равна:

$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Для нахождения площади прямоугольного треугольника KCM ($\angle C = 90^\circ$) сначала определим длины его катетов KC и CM:

$KC = BC - BK = 10 - 2 = 8$ см.

$CM = CD - DM = 10 - 6 = 4$ см.

Теперь найдем площадь треугольника KCM:

$S_{KCM} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см².

3. Наконец, найдем площадь искомого треугольника AKM, вычитая из площади квадрата сумму площадей трех других треугольников:

$S_{AKM} = S_{ABCD} - (S_{ABK} + S_{KCM} + S_{ADM})$

$S_{AKM} = 100 - (10 + 16 + 30) = 100 - 56 = 44$ см².

Ответ: 44 см².