Страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 7 см и 9 см, а боковая сторона равна 6 см и образует с большим основанием угол 45°.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 7 см и 9 см, а боковая сторона равна 6 см и образует с большим основанием угол $45^\circ$.

Для нахождения площади трапеции используется формула: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Согласно условию, основания трапеции равны $a = 7$ см и $b = 9$ см. Боковая сторона, равная 6 см, образует с большим основанием угол $45^\circ$.

Чтобы найти высоту трапеции, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Высота $h$, боковая сторона (6 см) и отрезок на большем основании образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона является гипотенузой, а высота — катетом, противолежащим углу в $45^\circ$.

Высоту можно найти, используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:$h = \text{гипотенуза} \cdot \sin(\alpha)$

Подставим наши значения:$h = 6 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, вычисляем высоту:$h = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, подставив все известные значения в формулу:$S = \frac{7 + 9}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{16}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 8 \cdot 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

Ответ: $24\sqrt{2}$ см².

267. Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ — 37 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ – 37 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади равнобокой трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи нам даны основания $a = 40$ см и $b = 30$ см. Чтобы найти площадь, необходимо вычислить высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB — большее основание ($AB = 40$ см), CD — меньшее основание ($CD = 30$ см), а AC — диагональ ($AC = 37$ см).

Проведем из вершины C высоту CH на основание AB. Получим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Чтобы найти высоту $CH = h$, нам нужно сначала найти длину катета AH.

Проведем вторую высоту DK из вершины D на то же основание AB. Так как трапеция равнобокая, отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны: $AK = HB$. Длину этих отрезков можно найти по формуле: $AK = \frac{AB - CD}{2} = \frac{40 - 30}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Четырехугольник DCHK является прямоугольником, так как DK и CH — высоты (перпендикулярны AB), а DC параллельно AB (и, следовательно, KH). Значит, $KH = CD = 30$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка AH, который является суммой отрезков AK и KH: $AH = AK + KH = 5 + 30 = 35$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ACH и найдем его катет CH (высоту трапеции): $h^2 = CH^2 = AC^2 - AH^2 = 37^2 - 35^2$. Применим формулу разности квадратов: $h^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$. $h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{40 + 30}{2} \cdot 12 = \frac{70}{2} \cdot 12 = 35 \cdot 12 = 420$ см².

Ответ: 420 см².

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 10 см, боковая сторона — 6 см, а угол при меньшем основании — $120^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 10 см, боковая сторона — 6 см, а угол при меньшем основании — $120^\circ$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания.

По условию задачи имеем:

• меньшее основание $b = BC = 10$ см;
• боковая сторона $c = AB = CD = 6$ см;
• угол при меньшем основании $\angle B = 120^\circ$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, следовательно, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Так как трапеция равнобокая, то $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота. Нам необходимо найти высоту $h$ и длину большего основания $a$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенуза $AB = 6$ см и угол $\angle A = 60^\circ$.

Высота трапеции $h$ равна катету $BH$:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем большее основание $a = AD$. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Так как трапеция равнобокая, то треугольники $ABH$ и $DCK$ равны. Это означает, что отрезки, которые высоты отсекают от большего основания, равны: $AH = KD$.

Найдем длину отрезка $AH$ из треугольника $ABH$:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Длина большего основания $a$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$a = AD = AH + HK + KD = 3 + 10 + 3 = 16$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+10}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{26}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 13 \cdot 3\sqrt{3} = 39\sqrt{3}$ см².

Ответ: $39\sqrt{3}$ см².

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 123 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 123

Вершины: A, B, C, D

Длины сторон: $AB = 12$, $BC = 7$, $CD = 10$

Угол: $\angle A = 30^\circ$

Основание: $AD = a$

Вершины: A, B, C, D

Длины сторон: $AB = 4\sqrt{2}$, $BC = 3$

Углы: $\angle A = 45^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

Основание: $AD = 6$

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 123 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 123

a

$AB = 12$

$BC = 7$

$CD = 10$

$\angle A = 30^\circ$

б

$BC = 3$

$AB = 4\sqrt{2}$

$\angle A = 45^\circ$

а

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

В трапеции $ABCD$ даны верхнее основание $BC = 7$ см, боковые стороны $AB=12$ см и $CD=10$ см, и угол $\angle A = 30^\circ$. Для нахождения площади необходимо найти высоту $h$ и длину нижнего основания $AD$.

1. Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Высота трапеции $h = BH = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.
Гипотенуза $AB = 12$ см, а $\angle A = 30^\circ$. Катет $BH$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
$h = BH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.
Найдем катет $AH$, используя косинус угла $A$:
$AH = AB \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDK$.
Гипотенуза $CD = 10$ см, катет (высота) $CK = h = 6$ см. Найдем второй катет $KD$ по теореме Пифагора:
$CD^2 = CK^2 + KD^2$
$10^2 = 6^2 + KD^2$
$100 = 36 + KD^2$
$KD^2 = 64$
$KD = \sqrt{64} = 8$ см.

4. Теперь найдем длину нижнего основания $AD$.
Отрезок $HK$ равен верхнему основанию $BC$, так как $BCKH$ — прямоугольник ($BC \parallel AD$, $BH \perp AD$, $CK \perp AD$).
$HK = BC = 7$ см.
Длина основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD = 6\sqrt{3} + 7 + 8 = 15 + 6\sqrt{3}$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:
$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{7 + (15 + 6\sqrt{3})}{2} \cdot 6 = \frac{22 + 6\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = (11 + 3\sqrt{3}) \cdot 6 = 66 + 18\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $66 + 18\sqrt{3}$ см$^2$.

б

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

В данной трапеции $ABCD$ угол $\angle D = 90^\circ$, следовательно, это прямоугольная трапеция, и её высота $h$ равна боковой стороне $CD$. Даны верхнее основание $BC = 3$ см, боковая сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle A = 45^\circ$.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$.
Так как трапеция прямоугольная, $CD \perp AD$. $BH$ также является высотой, поэтому $BH \perp AD$. Четырехугольник $HBCD$ является прямоугольником, так как у него все углы прямые ($BH \parallel CD$). Следовательно, $BH = CD = h$ и $HD = BC = 3$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.
Гипотенуза $AB = 4\sqrt{2}$ см, а острый угол $\angle A = 45^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH$.

3. Найдем длину катетов $AH$ и $BH$ (которая является высотой трапеции $h$):
$h = BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Поскольку $AH = BH$, то $AH = 4$ см.

4. Найдем длину нижнего основания $AD$.
$AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:
$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см$^2$.

Ответ: 20 см$^2$.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

По условию задачи, длины оснований равны $BC = 6$ см и $AD = 10$ см. Высотой трапеции является сторона $AB$.

Сначала определим, какая из двух диагоналей, $AC$ или $BD$, является меньшей. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Согласно теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 6^2$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + 10^2$

Поскольку $AD > BC$ ($10 > 6$), то $BD^2 > AC^2$, и, следовательно, $BD > AC$. Значит, меньшая диагональ трапеции — это $AC$.

По условию, меньшая диагональ $AC$ является биссектрисой прямого угла $A$. Это означает, что она делит угол $A$ на два равных угла:

$\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$). В этом треугольнике мы знаем, что $\angle BAC = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BCA$ равен:

$\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$), он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AB = BC$.

Так как нам известно, что $BC = 6$ см, то высота трапеции $h = AB$ также равна 6 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, используя формулу:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{10 + 6}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 6 см и 26 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 6 см и 26 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи, меньшее основание $BC = 6$ см, а большее основание $AD = 26$ см. Трапеция является равнобокой, следовательно, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

В условии сказано, что диагонали делят тупые углы трапеции пополам. Рассмотрим диагональ $AC$ и тупой угол $BCD$. Так как $AC$ является биссектрисой угла $BCD$, то $∠BCA = ∠ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$.

Из равенств $∠BCA = ∠ACD$ и $∠BCA = ∠CAD$ следует, что $∠ACD = ∠CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как два его угла равны ($∠ACD = ∠CAD$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $CD = AD$.

Так как $AD = 26$ см, то и боковая сторона $CD = 26$ см.

Для вычисления площади трапеции нам необходимо найти её высоту. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины до основания на большей стороне, можно найти по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим значения длин оснований:$HD = \frac{26 - 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем длину гипотенузы $CD = 26$ см и одного из катетов $HD = 10$ см. По теореме Пифагора найдём второй катет $CH$, который является высотой трапеции ($h$):$CD^2 = CH^2 + HD^2$$h^2 = CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим найденные и данные значения:$S = \frac{26 + 6}{2} \cdot 24 = \frac{32}{2} \cdot 24 = 16 \cdot 24 = 384$ см².

Ответ: 384 см².

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 16 см, а разность боковых сторон — 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 15 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 16 см, а разность боковых сторон — 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 15 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $AB$ является высотой трапеции. Обозначим длины сторон: $AD = a$, $BC = b$, высота $AB = h$, боковая сторона $CD = c$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

1. Разность оснований: $a - b = 16$ см.
2. Разность боковых сторон: $c - h = 8$ см. (Так как в прямоугольной трапеции наклонная боковая сторона всегда длиннее высоты, $c > h$).

В трапеции есть две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем, какая из них меньшая. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$:

• $AC^2 = AB^2 + BC^2 = h^2 + b^2$
• $BD^2 = AB^2 + AD^2 = h^2 + a^2$

Поскольку $a > b$, то $a^2 > b^2$, и, следовательно, $BD^2 > AC^2$. Значит, меньшая диагональ — это $AC$. По условию $AC = 15$ см.

Получаем третье уравнение:

3. $h^2 + b^2 = 15^2 = 225$.

Для решения системы нам необходимо еще одно уравнение. Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCE$ и прямоугольный треугольник $\triangle CED$.

В треугольнике $\triangle CED$:

• Катет $CE = AB = h$.
• Катет $ED = AD - AE = a - b = 16$ см.
• Гипотенуза $CD = c$.

По теореме Пифагора для $\triangle CED$:

$CE^2 + ED^2 = CD^2$

$h^2 + (a - b)^2 = c^2$

Получаем четвертое уравнение:

4. $h^2 + 16^2 = c^2 \Rightarrow h^2 + 256 = c^2$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения выразим $c$: $c = h + 8$. Подставим это выражение в четвертое уравнение:

$h^2 + 256 = (h + 8)^2$

$h^2 + 256 = h^2 + 16h + 64$

$256 - 64 = 16h$

$192 = 16h$

$h = \frac{192}{16} = 12$ см.

Зная высоту $h$, найдем меньшее основание $b$ из третьего уравнения:

$12^2 + b^2 = 225$

$144 + b^2 = 225$

$b^2 = 225 - 144 = 81$

$b = 9$ см.

Теперь найдем большее основание $a$ из первого уравнения:

$a - 9 = 16$

$a = 16 + 9 = 25$ см.

Все стороны трапеции найдены. Теперь можем вычислить ее площадь по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{25+9}{2} \cdot 12 = \frac{34}{2} \cdot 12 = 17 \cdot 12 = 204$ см².

Ответ: 204 см².

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 18 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 18 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания.

По условию, основания равны $BC = 8$ см и $AD = 18$ см. Углы при большем основании AD равны $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Так как BC параллельно AD, а BH и CK перпендикулярны AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, $BH = CK = h$ (высота трапеции) и $HK = BC = 8$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Подставим известные значения: $18 = AH + 8 + KD$.

Отсюда находим сумму отрезков AH и KD: $AH + KD = 18 - 8 = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ($\angle H = 90^\circ$).

Из определения тангенса угла: $\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH}$.

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{AH}$, откуда $AH = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD ($\angle K = 90^\circ$).

Из определения тангенса угла: $\tan(\angle D) = \frac{CK}{KD}$.

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{KD}$, откуда $KD = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим выражения для AH и KD в уравнение $AH + KD = 10$:

$h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 10$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{h(\sqrt{3})^2 + h}{\sqrt{3}} = 10$

$\frac{3h + h}{\sqrt{3}} = 10$

$\frac{4h}{\sqrt{3}} = 10$

$4h = 10\sqrt{3}$

$h = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{18 + 8}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{26}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 13 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{65\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{65\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Точка касания делит ее боковую сторону на отрезки длиной $m = 9$ см и $n = 16$ см.

1. Нахождение длины боковой стороны и суммы оснований

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания: $c = m + n = 9 + 16 = 25$ см.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы его противолежащих сторон равны. Для равнобокой трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим найденное значение боковой стороны: $a + b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

2. Нахождение высоты трапеции

Высота трапеции $h$, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

Рассмотрим боковую сторону трапеции как отрезок $AB$, и пусть $O$ - центр вписанной окружности. Отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами $A$ и $B$, являются биссектрисами углов $A$ и $B$. Сумма углов трапеции при боковой стороне равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$). Следовательно, сумма половин этих углов в треугольнике $AOB$ равна $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $AOB$ — прямоугольный, где $\angle AOB = 90^\circ$.

Радиус, проведенный в точку касания $K$ на боковой стороне $AB$, перпендикулярен этой стороне. Таким образом, радиус $OK = r$ является высотой прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. Отрезки, на которые точка касания $K$ делит гипотенузу $AB$, равны $AK = 16$ см и $KB = 9$ см.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $r^2 = AK \cdot KB$.

$r^2 = 16 \cdot 9 = 144$ см².

$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем высоту трапеции: $h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

3. Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Мы уже нашли, что сумма оснований $a+b = 50$ см, а высота $h = 24$ см. Подставим эти значения в формулу: $S = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см².

Ответ: 600 см².

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 30 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 1 : 9. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 30 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $1:9$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$, а $CD$ — большая боковая сторона. Высота трапеции $h$ равна её меньшей боковой стороне, $h = AB = 30$ см.

Так как в трапецию можно вписать окружность, её диаметр $d$ равен высоте трапеции. Таким образом, $d = h = 30$ см, а радиус вписанной окружности $r = d/2 = 15$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания окружности с большей боковой стороной $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, длины которых относятся как $1:9$. Обозначим длины этих отрезков $CK = x$ и $KD = 9x$. Тогда длина стороны $CD = CK + KD = x + 9x = 10x$.

Используем свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.
Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда:
$CM = CK = x$
$DN = DK = 9x$

Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки от вершин прямых углов до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу окружности. Следовательно, $BM = r = 15$ см и $AN = r = 15$ см.

Теперь можем выразить длины оснований трапеции через $x$:
Верхнее основание $BC = BM + MC = 15 + x$.
Нижнее основание $AD = AN + DN = 15 + 9x$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. Найдем длины его сторон:
- катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 30$ см;
- катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (15 + 9x) - (15 + x) = 8x$;
- гипотенуза $CD = 10x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.
$30^2 + (8x)^2 = (10x)^2$
$900 + 64x^2 = 100x^2$
$100x^2 - 64x^2 = 900$
$36x^2 = 900$
$x^2 = \frac{900}{36} = 25$
Поскольку $x$ — это длина отрезка, $x = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь, зная $x$, найдем длины оснований:
$BC = 15 + x = 15 + 5 = 20$ см.
$AD = 15 + 9x = 15 + 9 \cdot 5 = 15 + 45 = 60$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot AB = \frac{20+60}{2} \cdot 30 = \frac{80}{2} \cdot 30 = 40 \cdot 30 = 1200$ см$^2$.

Ответ: 1200 см$^2$.