Номер 275, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 30 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 1 : 9. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 30 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $1:9$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$, а $CD$ — большая боковая сторона. Высота трапеции $h$ равна её меньшей боковой стороне, $h = AB = 30$ см.

Так как в трапецию можно вписать окружность, её диаметр $d$ равен высоте трапеции. Таким образом, $d = h = 30$ см, а радиус вписанной окружности $r = d/2 = 15$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания окружности с большей боковой стороной $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, длины которых относятся как $1:9$. Обозначим длины этих отрезков $CK = x$ и $KD = 9x$. Тогда длина стороны $CD = CK + KD = x + 9x = 10x$.

Используем свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.
Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда:
$CM = CK = x$
$DN = DK = 9x$

Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки от вершин прямых углов до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу окружности. Следовательно, $BM = r = 15$ см и $AN = r = 15$ см.

Теперь можем выразить длины оснований трапеции через $x$:
Верхнее основание $BC = BM + MC = 15 + x$.
Нижнее основание $AD = AN + DN = 15 + 9x$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. Найдем длины его сторон:
- катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 30$ см;
- катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (15 + 9x) - (15 + x) = 8x$;
- гипотенуза $CD = 10x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.
$30^2 + (8x)^2 = (10x)^2$
$900 + 64x^2 = 100x^2$
$100x^2 - 64x^2 = 900$
$36x^2 = 900$
$x^2 = \frac{900}{36} = 25$
Поскольку $x$ — это длина отрезка, $x = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь, зная $x$, найдем длины оснований:
$BC = 15 + x = 15 + 5 = 20$ см.
$AD = 15 + 9x = 15 + 9 \cdot 5 = 15 + 45 = 60$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot AB = \frac{20+60}{2} \cdot 30 = \frac{80}{2} \cdot 30 = 40 \cdot 30 = 1200$ см$^2$.

Ответ: 1200 см$^2$.