Номер 274, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Точка касания делит ее боковую сторону на отрезки длиной $m = 9$ см и $n = 16$ см.

1. Нахождение длины боковой стороны и суммы оснований

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания: $c = m + n = 9 + 16 = 25$ см.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы его противолежащих сторон равны. Для равнобокой трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим найденное значение боковой стороны: $a + b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

2. Нахождение высоты трапеции

Высота трапеции $h$, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

Рассмотрим боковую сторону трапеции как отрезок $AB$, и пусть $O$ - центр вписанной окружности. Отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами $A$ и $B$, являются биссектрисами углов $A$ и $B$. Сумма углов трапеции при боковой стороне равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$). Следовательно, сумма половин этих углов в треугольнике $AOB$ равна $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $AOB$ — прямоугольный, где $\angle AOB = 90^\circ$.

Радиус, проведенный в точку касания $K$ на боковой стороне $AB$, перпендикулярен этой стороне. Таким образом, радиус $OK = r$ является высотой прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. Отрезки, на которые точка касания $K$ делит гипотенузу $AB$, равны $AK = 16$ см и $KB = 9$ см.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $r^2 = AK \cdot KB$.

$r^2 = 16 \cdot 9 = 144$ см².

$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем высоту трапеции: $h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

3. Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Мы уже нашли, что сумма оснований $a+b = 50$ см, а высота $h = 24$ см. Подставим эти значения в формулу: $S = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см².

Ответ: 600 см².