Номер 271, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 6 см и 26 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 6 см и 26 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи, меньшее основание $BC = 6$ см, а большее основание $AD = 26$ см. Трапеция является равнобокой, следовательно, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

В условии сказано, что диагонали делят тупые углы трапеции пополам. Рассмотрим диагональ $AC$ и тупой угол $BCD$. Так как $AC$ является биссектрисой угла $BCD$, то $∠BCA = ∠ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$.

Из равенств $∠BCA = ∠ACD$ и $∠BCA = ∠CAD$ следует, что $∠ACD = ∠CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как два его угла равны ($∠ACD = ∠CAD$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $CD = AD$.

Так как $AD = 26$ см, то и боковая сторона $CD = 26$ см.

Для вычисления площади трапеции нам необходимо найти её высоту. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины до основания на большей стороне, можно найти по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим значения длин оснований:$HD = \frac{26 - 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем длину гипотенузы $CD = 26$ см и одного из катетов $HD = 10$ см. По теореме Пифагора найдём второй катет $CH$, который является высотой трапеции ($h$):$CD^2 = CH^2 + HD^2$$h^2 = CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим найденные и данные значения:$S = \frac{26 + 6}{2} \cdot 24 = \frac{32}{2} \cdot 24 = 16 \cdot 24 = 384$ см².

Ответ: 384 см².