Номер 276, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия трапеции равна 6 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия трапеции равна 6 см.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле $S = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия, а $h$ — высота. По условию задачи, средняя линия $m = 6$ см. Для нахождения площади нам необходимо определить высоту трапеции.

Воспользуемся свойствами равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Проведем высоту трапеции через точку пересечения ее диагоналей. Эта высота будет состоять из двух отрезков, которые являются высотами в двух треугольниках, образованных основаниями и отрезками диагоналей.

Поскольку трапеция равнобокая, эти треугольники являются равнобедренными. А так как диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае гипотенузами являются основания трапеции $a$ и $b$.

Таким образом, отрезки, из которых состоит высота трапеции, равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$.

Высота всей трапеции $h$ равна сумме длин этих отрезков: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

По определению, средняя линия трапеции $m$ также равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Отсюда следует важное свойство: у равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии, то есть $h = m$.

Так как по условию $m = 6$ см, то и высота $h$ также равна 6 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции: $S = m \cdot h = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Можно также записать формулу площади для такого вида трапеций как $S = m^2$. $S = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.