Номер 5, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла

прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см, $BC = 20$ см. Найдите:

1) $cosB$

2) $tgA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AB = 15$ см, $sinA = 0,6$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $sin^2 16^\circ + cos^2 16^\circ - sin^2 60^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle CBD = 45^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $\alpha$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см, $BC = 20$ см. Найдите:

1) $cos B$;

2) $tg A$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AB = 15$ см, $sin A = 0,6$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $sin^2 16^\circ + cos^2 16^\circ - sin^2 60^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle CBD = 45^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $\alpha$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

1.

Дано: треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см (гипотенуза), $BC = 20$ см (катет).

Для решения обоих подпунктов сначала найдем катет AC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

1) cosB

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cosB = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Ответ: $0.8$.

2) tgA

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tgA = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A определяется как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $sinA = \frac{BC}{AB}$.

Отсюда катет BC можно выразить как $BC = AB \cdot sinA$.

Подставим известные значения: $BC = 15 \cdot 0.6 = 9$ см.

Ответ: $9$ см.

3.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Применив его для $\alpha = 16^\circ$, получим $sin^216^\circ + cos^216^\circ = 1$.

Теперь исходное выражение можно упростить:

$sin^216^\circ + cos^216^\circ - sin^260^\circ = 1 - sin^260^\circ$.

Значение синуса 60 градусов является табличным: $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $sin^260^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Вычисляем окончательное значение: $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 12 см и высотой BH = 8 см, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание AC пополам: $AH = HC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$). Нам нужно найти тригонометрические функции угла при основании, то есть угла A.

Найдем боковую сторону AB (гипотенузу в треугольнике ABH) по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь можем найти тригонометрические функции угла A:

Синус: $sinA = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Косинус: $cosA = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Тангенс: $tgA = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Котангенс: $ctgA = \frac{AH}{BH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: синус равен $\frac{4}{5}$, косинус равен $\frac{3}{5}$, тангенс равен $\frac{4}{3}$, котангенс равен $\frac{3}{4}$.

5.

Так как BD - высота, треугольники ABD и CBD являются прямоугольными ($\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Известно, что $\angle CBD = 45^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому $\angle BCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при гипотенузе BC равны, треугольник CBD является равнобедренным, и $BD = CD$.

Найдем длину катета BD из треугольника CBD. $cos(\angle CBD) = \frac{BD}{BC}$.

$BD = BC \cdot cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Нам известен катет BD и угол $\angle A = 30^\circ$.

Тангенс угла A определяется как $tgA = \frac{BD}{AD}$.

Отсюда $AD = \frac{BD}{tgA}$.

Подставим известные значения: $AD = \frac{3\sqrt{2}}{tg30^\circ}$.

Так как $tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$AD = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

6.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, вписанная в окружность радиуса R. Пусть AD - большее основание, AC - диагональ. По условию $AC \perp CD$ (диагональ перпендикулярна боковой стороне), следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$. Также по условию диагональ образует с основанием угол $\alpha$, то есть $\angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим треугольник ACD. Он вписан в ту же окружность, что и трапеция. Так как угол $\angle ACD$ прямой, он опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза AD является диаметром описанной окружности.

$AD = 2R$.

Проведем высоту трапеции CH из вершины C к основанию AD. Длина CH и есть искомая высота h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Найдем в нем боковую сторону CD.

$sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} \Rightarrow CD = AD \cdot sin\alpha = 2R sin\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD ($\angle CHD = 90^\circ$).

Угол $\angle ADC$ трапеции найдем из прямоугольного треугольника ACD: $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \alpha$.

В треугольнике CHD катет CH (высота трапеции) противолежит углу $\angle CDH = \angle ADC$.

$sin(\angle CDH) = \frac{CH}{CD} \Rightarrow CH = CD \cdot sin(\angle CDH)$.

Подставим найденные значения:

$h = (2R sin\alpha) \cdot sin(90^\circ - \alpha)$.

Используя формулу приведения $sin(90^\circ - \alpha) = cos\alpha$, получаем:

$h = 2R sin\alpha cos\alpha$.

Применяя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, окончательно находим:

$h = R sin(2\alpha)$.

Ответ: $R sin(2\alpha)$.