Номер 5, страница 109 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите:
1) $ctgB$;
2) $sinA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AC = 12$ см, $tgA = 0,8$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $\cos^2 30^\circ + \sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен $\alpha$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна $h$.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите:

1) $ctgB$; 2) $sinA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AC = 12$ см, $tgA = 0,8$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $cos^2 30^\circ + sin^2 52^\circ + cos^2 52^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен $\alpha$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна $h$.

1.

В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, катеты $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.

1) ctgB;

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла B прилежащим катетом является BC, а противолежащим — AC.

$\text{ctg}B = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) sinA.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла A противолежащим катетом является BC. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см

Теперь найдем синус угла A:

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) известен катет $AC = 12$ см и тангенс угла A: $\text{tg}A = 0.8$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла A противолежащим катетом является BC, а прилежащим — AC.

$\text{tg}A = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения:

$0.8 = \frac{BC}{12}$

$BC = 12 \cdot 0.8 = 9.6$ см

Ответ: 9,6 см.

3.

Требуется найти значение выражения $\cos^2 30^\circ + \sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Для $\alpha = 52^\circ$ имеем $\sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ = 1$.

Тогда выражение упрощается до $\cos^2 30^\circ + 1$.

Значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos^2 30^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Окончательный результат: $\frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

4.

Дан равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. Нужно найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной и высотой, проведенной к основанию.

Пусть треугольник ABC — равнобедренный, с основанием $AC = 10$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 13$ см. Проведем высоту BH к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ($\angle AHB = 90^\circ$). Найдем высоту BH по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12$ см

Искомый угол — это угол ABH. Найдем его тригонометрические функции в треугольнике ABH:

$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}$

$\cos(\angle ABH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}$

$\tan(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{12}$

$\text{ctg}(\angle ABH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5}$

Ответ: синус равен $\frac{5}{13}$, косинус равен $\frac{12}{13}$, тангенс равен $\frac{5}{12}$, котангенс равен $\frac{12}{5}$.

5.

В треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle BDA = 90^\circ$). Найдем высоту BD:

$\sin A = \frac{BD}{AB}$

$\sin 60^\circ = \frac{BD}{12}$

$BD = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD ($\angle BDC = 90^\circ$). Найдем отрезок CD:

$\tan(\angle CBD) = \frac{CD}{BD}$

$\tan 30^\circ = \frac{CD}{6\sqrt{3}}$

$CD = 6\sqrt{3} \cdot \tan 30^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$ см

Ответ: 6 см.

6.

Дана равнобокая трапеция, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне. Угол между боковой стороной и большим основанием равен $\alpha$, высота трапеции равна $h$.

Пусть ABCD — равнобокая трапеция с основаниями AD и BC, и боковыми сторонами AB и CD. По условию, $AC \perp CD$, $\angle CDA = \alpha$, и высота, опущенная из вершины C на основание AD (назовем ее CE), равна $h$.

Окружность, описанная около трапеции, является той же окружностью, что и описанная около треугольника ACD.

Так как $AC \perp CD$, треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом C. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Гипотенузой в $\triangle ACD$ является большее основание трапеции AD. Таким образом, искомый радиус $R = \frac{AD}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CED ($\angle CED = 90^\circ$), где CE = h — высота трапеции. В этом треугольнике:

$\sin(\angle CDE) = \sin \alpha = \frac{CE}{CD} = \frac{h}{CD}$

Отсюда выразим боковую сторону: $CD = \frac{h}{\sin \alpha}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ACD. В нем $\angle CDA = \alpha$. Мы можем связать гипотенузу AD и катет CD через косинус этого угла:

$\cos(\angle CDA) = \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AD}$

Выразим гипотенузу AD: $AD = \frac{CD}{\cos \alpha}$.

Подставим ранее найденное выражение для CD:

$AD = \frac{h/\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{h}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получим $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

$AD = \frac{h}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2h}{\sin(2\alpha)}$

Найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{AD}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sin(2\alpha)} = \frac{h}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{h}{\sin(2\alpha)}$.