Номер 6, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого восемнадцатиугольника?

2. Площадь параллелограмма равна $98\text{ см}^2$, а одна из его высот — $14\text{ см}$. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $16\text{ см}$, а боковая сторона — $17\text{ см}$. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $50\text{ см}$, а разность диагоналей — $20\text{ см}$.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол $60^\circ$, а высота трапеции равна $6\sqrt{3}\text{ см}$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$. Найдите площадь треугольника.

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого восемнадцатиугольника?

2. Площадь параллелограмма равна $98\text{ см}^2$, а одна из его высот — 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей — 20 см.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол $60^\circ$, а высота трапеции равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника.

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$. Для восемнадцатиугольника количество сторон $n = 18$. Подставим значение в формулу: $S_{18} = 180^\circ \cdot (18-2) = 180^\circ \cdot 16 = 2880^\circ$.
Ответ: $2880^\circ$.

2. Площадь параллелограмма ($S$) равна произведению его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$. По условию, площадь $S = 98 \text{ см}^2$, а высота $h = 14 \text{ см}$. Чтобы найти сторону, к которой проведена эта высота, нужно площадь разделить на длину высоты: $a = \frac{S}{h} = \frac{98}{14} = 7 \text{ см}$.
Ответ: $7 \text{ см}$.

3. Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к основанию. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание (16 см) на два равных отрезка по $16 / 2 = 8 \text{ см}$. Эта высота образует два прямоугольных треугольника, где боковая сторона (17 см) является гипотенузой, а половина основания (8 см) и высота ($h$) — катетами. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $h^2 + 8^2 = 17^2$. $h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$. $h = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$. Теперь можем найти площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \text{ см}^2$.
Ответ: $120 \text{ см}^2$.

4. Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они образуют со стороной ромба ($a$) прямоугольный треугольник, для которого верна теорема Пифагора: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$. По условию, $a = 50 \text{ см}$ и $d_1 - d_2 = 20 \text{ см}$. Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} d_1 - d_2 = 20 \\ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 50^2 \end{cases}$
Из первого уравнения $d_1 = d_2 + 20$. Второе уравнение упростим: $d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 50^2 = 10000$.
Подставим $d_1$ во второе уравнение:
$(d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 10000$
$d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 10000$
$2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0$
$d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 20^2 - 4(1)(-4800) = 400 + 19200 = 19600 = 140^2$.
$d_2 = \frac{-20 \pm 140}{2}$. Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $d_2 = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}$.
Тогда $d_1 = 60 + 20 = 80 \text{ см}$.
Найдем площадь ромба: $S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 2400 \text{ см}^2$.
Ответ: $2400 \text{ см}^2$.

5. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота. По свойству описанной трапеции (в которую можно вписать окружность), сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, то $a+b = 2c$, где $c$ — боковая сторона. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (гипотенуза), высотой $h = 6\sqrt{3} \text{ см}$ (катет) и частью основания. Угол при основании равен $60^\circ$. Из определения синуса: $\sin(60^\circ) = \frac{h}{c}$. $c = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 12 \text{ см}$. Сумма оснований равна $a+b = 2c = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}$. Теперь найдем площадь трапеции: $S = \frac{24}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 12 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $72\sqrt{3} \text{ см}^2$.

6. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть биссектриса острого угла $A$ (обозначим ее $AD$) делит катет $BC$ на отрезки $CD$ и $DB$. Длина катета $BC = 6 + 10 = 16 \text{ см}$. По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{DB}$. В прямоугольном треугольнике катет ($AC$) всегда меньше гипотенузы ($AB$), поэтому отношение $\frac{AC}{AB} < 1$. Следовательно, отрезок $CD$ должен быть меньше отрезка $DB$. Таким образом, $CD = 6 \text{ см}$ и $DB = 10 \text{ см}$. $\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, откуда $AB = \frac{5}{3}AC$. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Подставим известные значения:
$AC^2 + 16^2 = (\frac{5}{3}AC)^2$
$AC^2 + 256 = \frac{25}{9}AC^2$
$256 = \frac{25}{9}AC^2 - AC^2$
$256 = \frac{16}{9}AC^2$
$AC^2 = \frac{256 \cdot 9}{16} = 16 \cdot 9 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.
Ответ: $96 \text{ см}^2$.