Номер 3, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

1. На рисунке 125 $MN \parallel KP$, $NP = 20 \text{ см}$, $PO = 8 \text{ см}$, $MK = 15 \text{ см}$. Найдите отрезок $KO$.

2. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны, причём сторонам $AB$ и $BC$ соответствуют стороны $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если $BC = 5 \text{ см}$, $AB = 6 \text{ см}$, $B_1C_1 = 15 \text{ см}$, $A_1C_1 = 21 \text{ см}$.

3. Отрезок $CD$ — биссектриса треугольника $\triangle ABC$, $AC = 12 \text{ см}$, $BC = 18 \text{ см}$, $AD = 10 \text{ см}$. Найдите отрезок $BD$.

4. На стороне $AB$ треугольника $\triangle ABC$ отметили точку $E$ так, что $AE : BE = 3 : 4$. Через точку $E$ провели прямую, которая параллельна стороне $AC$ треугольника и пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AC = 28 \text{ см}$.

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BO : OD = 2 : 3$, $AC = 25 \text{ см}$. Найдите отрезки $AO$ и $OC$.

6. Через точку $P$, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой $P$ на отрезки, длины которых равны $4 \text{ см}$ и $5 \text{ см}$. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен $6 \text{ см}$.

Контрольная работа № 3

Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

1. На рисунке 125 $MN \parallel KP$, $NP = 20$ см, $PO = 8$ см, $MK = 15$ см. Найдите отрезок $KO$.

2. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём сторонам $AB$ и $BC$ соответствуют стороны $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если $BC = 5$ см, $AB = 6$ см, $B_1C_1 = 15$ см, $A_1C_1 = 21$ см.

3. Отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $ABC$, $AC = 12$ см, $BC = 18$ см, $AD = 10$ см. Найдите отрезок $BD$.

4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$ так, что $AE : BE = 3 : 4$. Через точку $E$ провели прямую, которая параллельна стороне $AC$ треугольника и пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AC = 28$ см.

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BO : OD = 2 : 3$, $AC = 25$ см. Найдите отрезки $AO$ и $OC$.

6. Через точку $P$, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой $P$ на отрезки, длины которых равны 4 см и 5 см. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен 6 см.

1. Поскольку $MN \parallel KP$, по обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) прямые $MN$ и $KP$ отсекают на сторонах угла $\angle MOK$ пропорциональные отрезки. Следовательно, можно составить пропорцию: $$ \frac{OK}{OM} = \frac{OP}{ON} $$ Из условия нам известны длины отрезков $PO = 8$ см, $NP = 20$ см и $MK = 15$ см. Найдем длину отрезка $ON$: $ON = NP + PO = 20 + 8 = 28$ см. Пусть искомый отрезок $KO = x$. Тогда отрезок $OM$ будет равен: $OM = MK + KO = 15 + x$. Подставим все известные значения в пропорцию: $$ \frac{x}{15 + x} = \frac{8}{28} $$ Упростим правую часть: $\frac{8}{28} = \frac{2}{7}$. $$ \frac{x}{15 + x} = \frac{2}{7} $$ Решим уравнение, используя основное свойство пропорции: $7x = 2(15 + x)$ $7x = 30 + 2x$ $5x = 30$ $x = 6$ см.
Ответ: $KO = 6$ см.

2. Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $$ Известно, что сторонам $AB$ и $BC$ соответствуют стороны $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Используя известные длины соответственных сторон $BC = 5$ см и $B_1C_1 = 15$ см, найдем коэффициент подобия: $$ k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$ Теперь мы можем найти длины неизвестных сторон. Найдем сторону $A_1B_1$, используя сторону $AB = 6$ см: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = k \Rightarrow \frac{6}{A_1B_1} = \frac{1}{3} \Rightarrow A_1B_1 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см} $$ Найдем сторону $AC$, используя сторону $A_1C_1 = 21$ см: $$ \frac{AC}{A_1C_1} = k \Rightarrow \frac{AC}{21} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = \frac{21}{3} = 7 \text{ см} $$
Ответ: $A_1B_1 = 18$ см, $AC = 7$ см.

3. Согласно свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $CD$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается так: $$ \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} $$ Нам даны $AC = 12$ см, $BC = 18$ см, $AD = 10$ см. Подставим эти значения в формулу: $$ \frac{10}{BD} = \frac{12}{18} $$ Упростим дробь в правой части: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. $$ \frac{10}{BD} = \frac{2}{3} $$ Теперь найдем $BD$: $2 \cdot BD = 10 \cdot 3$ $2 \cdot BD = 30$ $BD = \frac{30}{2} = 15$ см.
Ответ: $BD = 15$ см.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle EBF$ и $\triangle ABC$. Так как по условию прямая $EF$ параллельна стороне $AC$, то $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ по двум углам ($\angle B$ — общий, а $\angle BEF = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{EF}{AC} = \frac{BE}{AB} $$ По условию $AE : BE = 3 : 4$. Примем $AE = 3k$, а $BE = 4k$. Тогда вся сторона $AB = AE + BE = 3k + 4k = 7k$. Найдем отношение сторон $BE$ и $AB$: $$ \frac{BE}{AB} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7} $$ Теперь, зная, что $AC = 28$ см, мы можем найти $EF$: $$ \frac{EF}{28} = \frac{4}{7} $$ $$ EF = \frac{4 \cdot 28}{7} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см} $$
Ответ: $EF = 16$ см.

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные пересечением диагоналей, подобны. Это следует из того, что $\angle BOC = \angle DOA$ (вертикальные углы), а $\angle OCB = \angle OAD$ и $\angle OBC = \angle ODA$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AC$ и $BD$ соответственно). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно: $$ \frac{BO}{DO} = \frac{OC}{AO} $$ По условию $BO : OD = 2 : 3$, следовательно: $$ \frac{OC}{AO} = \frac{2}{3} $$ Это означает, что $OC$ составляет 2 части, а $AO$ — 3 части отрезка $AC$. Вся диагональ $AC$ состоит из $2+3=5$ частей. Длина диагонали $AC = 25$ см. Найдем длину одной части: $25 \div 5 = 5$ см. Теперь найдем длины отрезков $AO$ и $OC$: $OC = 2 \cdot 5 = 10$ см. $AO = 3 \cdot 5 = 15$ см.
Ответ: $AO = 15$ см, $OC = 10$ см.

6. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд. Согласно этой теореме, если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Пусть данная хорда $AB$ делится точкой $P$ на отрезки $AP = 4$ см и $PB = 5$ см. Проведем через точку $P$ и центр окружности $O$ диаметр $CD$. Пусть искомое расстояние от точки $P$ до центра $O$ равно $d$, то есть $OP = d$. Диаметр $CD$ делится точкой $P$ на два отрезка. Их длины можно выразить через радиус $R = 6$ см и расстояние $d$: $CP = R + d = 6 + d$ $PD = R - d = 6 - d$ Применяем теорему для хорд $AB$ и $CD$: $$ AP \cdot PB = CP \cdot PD $$ Подставляем известные значения: $$ 4 \cdot 5 = (6 + d)(6 - d) $$ $$ 20 = 6^2 - d^2 $$ $$ 20 = 36 - d^2 $$ Решаем уравнение относительно $d$: $d^2 = 36 - 20$ $d^2 = 16$ $d = \sqrt{16} = 4$ см (расстояние не может быть отрицательным).
Ответ: 4 см.