Номер 4, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения

в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите меньший катет треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенузе равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите периметр треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.

4. Высота $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$) делит сторону $AC$ на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см. Найдите основание треугольника $ABC$.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

6. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите меньший катет треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите периметр треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.

4. Высота BM равнобедренного треугольника ABC ($AB = AC$) делит сторону AC на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см. Найдите основание треугольника ABC.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

6. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точку касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки $c_a = 9$ см и $c_b = 16$ см, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.
Длина гипотенузы равна сумме длин ее отрезков: $c = c_a + c_b = 9 + 16 = 25$ см.
Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
$a^2 = c \cdot c_a$
$b^2 = c \cdot c_b$
Вычислим длины обоих катетов:
$a^2 = 25 \cdot 9 = 225 \implies a = \sqrt{225} = 15$ см.
$b^2 = 25 \cdot 16 = 400 \implies b = \sqrt{400} = 20$ см.
Меньший катет имеет длину 15 см.
Ответ: 15 см.

2. Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза $c = 13$ см, один из катетов $a = 12$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$12^2 + b^2 = 13^2$
$144 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 144 = 25$
$b = \sqrt{25} = 5$ см.
Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30$ см.
Ответ: 30 см.

3. Диагонали ромба $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.
Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей:
$\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
$\frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих треугольниках. Найдем ее по теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$a = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны равны: $AB = AC$. Высота $BM$ делит сторону $AC$ на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см.
Длина стороны $AC = AM + CM = 15 + 2 = 17$ см.
Следовательно, $AB = AC = 17$ см.
Высота $BM$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольник $ABM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$17^2 = 15^2 + BM^2$
$289 = 225 + BM^2$
$BM^2 = 289 - 225 = 64$
$BM = \sqrt{64} = 8$ см.
Рассмотрим треугольник $BMC$. Он также является прямоугольным, так как $\angle BMC = 90^\circ$. Основание $BC$ является его гипотенузой. Найдем $BC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$.
$BC = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.
Ответ: $2\sqrt{17}$ см.

5. Пусть из точки к прямой проведен перпендикуляр $h$ (искомое расстояние) и две наклонные $l_1$ и $l_2$. Проекции этих наклонных равны $p_1 = 9$ см и $p_2 = 16$ см. По условию, одна наклонная на 5 см больше другой, пусть $l_2 = l_1 + 5$.
Для каждой наклонной, ее проекции и перпендикуляра можно применить теорему Пифагора:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$
Подставим $l_2 = l_1 + 5$ во второе уравнение:
$(l_1 + 5)^2 = h^2 + 256$
$l_1^2 + 10l_1 + 25 = h^2 + 256$
Теперь подставим в это уравнение выражение для $l_1^2$ из первого уравнения ($l_1^2 = h^2 + 81$):
$(h^2 + 81) + 10l_1 + 25 = h^2 + 256$
$h^2 + 10l_1 + 106 = h^2 + 256$
$10l_1 = 256 - 106$
$10l_1 = 150 \implies l_1 = 15$ см.
Теперь найдем $h$ из первого уравнения:
$15^2 = h^2 + 81$
$225 = h^2 + 81$
$h^2 = 225 - 81 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

6. Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$, где $r$ — радиус окружности.
Пусть большая боковая сторона трапеции $c$ делится точкой касания на отрезки длиной 4 см и 25 см.
Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности $O$ и концами большей боковой стороны $C$ и $D$. Этот треугольник $COD$ является прямоугольным, так как его стороны $OC$ и $OD$ являются биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных основаниях трапеции, сумма которых равна $180^\circ$.
Высота этого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $CD$, является радиусом вписанной окружности $r$.
По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, она является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. Этими отрезками являются данные в условии отрезки боковой стороны.
$r^2 = 4 \cdot 25 = 100$
$r = \sqrt{100} = 10$ см.
Высота трапеции равна диаметру окружности:
$h = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Ответ: 20 см.