Номер 1, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 9$ см, $AC = 16$ см. Найдите периметр треугольника $COD$.

3. Один из углов ромба равен $72^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

4. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $\angle BCE = \angle DAF$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$). Докажите, что $CE = AF$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $BC = 12$ см.

6. Прямая проходит через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.

Контрольная работа № 1 Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 9$ см, $AC = 16$ см. Найдите периметр треугольника $COD$.

3. Один из углов ромба равен $72^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

4. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $\angle BCE = \angle DAF$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$). Докажите, что $CE = AF$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $BC = 12$ см.

6. Прямая проходит через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.

1. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. По условию, одна сторона на 6 см больше другой. Пусть $a = b + 6$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
Подставим известные значения в формулу периметра:
$48 = 2((b+6) + b)$
$48 = 2(2b + 6)$
$24 = 2b + 6$
$18 = 2b$
$b = 9$ см.
Теперь найдем вторую сторону:
$a = b + 6 = 9 + 6 = 15$ см.
Таким образом, стороны параллелограмма равны 9 см и 15 см.

Ответ: 9 см, 15 см.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть, $AC = BD = 16$ см. Точка $O$ — середина диагоналей.
Найдем стороны треугольника $COD$:
Сторона $CD$ равна противолежащей стороне $AB$ по свойству прямоугольника, следовательно, $CD = AB = 9$ см.
Стороны $CO$ и $OD$ являются половинами диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.
$CO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
Периметр треугольника $COD$ равен сумме длин его сторон:
$P_{COD} = CO + OD + CD = 8 + 8 + 9 = 25$ см.

Ответ: 25 см.

3. Пусть один из углов ромба равен $72^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$. Значит, углы ромба равны $72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ$.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Это означает, что они делят углы пополам.
Одна диагональ делит углы $72^\circ$ на два угла по $72^\circ / 2 = 36^\circ$.
Другая диагональ делит углы $108^\circ$ на два угла по $108^\circ / 2 = 54^\circ$.
Таким образом, сторона ромба образует с его диагоналями углы $36^\circ$ и $54^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 54^\circ$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$.
1. $BC = AD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$.
2. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle CBE$ и $\angle ADF$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BD$.
3. $\angle BCE = \angle DAF$ по условию задачи.
Таким образом, треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, в данном случае по стороне и двум углам - УСУ, или AAS).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $CE = AF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5. Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$.
По определению биссектрисы, $\angle BAE = \angle DAE$.
Так как $BC \parallel AD$ (свойство параллелограмма), то $\angle DAE = \angle BEA$ как накрест лежащие углы при секущей $AE$.
Следовательно, $\angle BAE = \angle BEA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABE$ является равнобедренным, и $AB = BE$.
По условию $BC = 12$ см и отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза, то есть $BE = 3 \cdot EC$.
Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BE + EC$.
Подставим известные значения: $12 = 3 \cdot EC + EC$.
$12 = 4 \cdot EC$
$EC = 3$ см.
Тогда $BE = 3 \cdot 3 = 9$ см.
Поскольку $AB = BE$, то $AB = 9$ см.
Стороны параллелограмма равны $AB=9$ см и $BC=12$ см.
Периметр параллелограмма $P = 2(AB+BC) = 2(9+12) = 2(21) = 42$ см.

Ответ: 42 см.

6. Пусть $O$ — середина диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$. По условию, прямая $MK$ проходит через точку $O$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$.
1. $AO = CO$, так как $O$ — середина $AC$.
2. $\angle OAK = \angle OCM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
3. $\angle AOK = \angle COM$ как вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle AOK = \triangle COM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AK = MC$.
Теперь рассмотрим четырехугольник $AMCK$.
Стороны $AK$ и $MC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, следовательно, $AK \parallel MC$.
Мы доказали, что в четырехугольнике $AMCK$ две противоположные стороны ($AK$ и $MC$) равны и параллельны.
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Следовательно, $AMCK$ — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.