Страница 102 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 9$ см, $AC = 16$ см. Найдите периметр треугольника $COD$.

3. Один из углов ромба равен $72^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

4. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $\angle BCE = \angle DAF$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$). Докажите, что $CE = AF$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $BC = 12$ см.

6. Прямая проходит через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.

Контрольная работа № 1 Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AB = 9$ см, $AC = 16$ см. Найдите периметр треугольника $COD$.

3. Один из углов ромба равен $72^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

4. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $\angle BCE = \angle DAF$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$). Докажите, что $CE = AF$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $BC = 12$ см.

6. Прямая проходит через середину диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.

1. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. По условию, одна сторона на 6 см больше другой. Пусть $a = b + 6$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
Подставим известные значения в формулу периметра:
$48 = 2((b+6) + b)$
$48 = 2(2b + 6)$
$24 = 2b + 6$
$18 = 2b$
$b = 9$ см.
Теперь найдем вторую сторону:
$a = b + 6 = 9 + 6 = 15$ см.
Таким образом, стороны параллелограмма равны 9 см и 15 см.

Ответ: 9 см, 15 см.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть, $AC = BD = 16$ см. Точка $O$ — середина диагоналей.
Найдем стороны треугольника $COD$:
Сторона $CD$ равна противолежащей стороне $AB$ по свойству прямоугольника, следовательно, $CD = AB = 9$ см.
Стороны $CO$ и $OD$ являются половинами диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.
$CO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
Периметр треугольника $COD$ равен сумме длин его сторон:
$P_{COD} = CO + OD + CD = 8 + 8 + 9 = 25$ см.

Ответ: 25 см.

3. Пусть один из углов ромба равен $72^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$. Значит, углы ромба равны $72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ$.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Это означает, что они делят углы пополам.
Одна диагональ делит углы $72^\circ$ на два угла по $72^\circ / 2 = 36^\circ$.
Другая диагональ делит углы $108^\circ$ на два угла по $108^\circ / 2 = 54^\circ$.
Таким образом, сторона ромба образует с его диагоналями углы $36^\circ$ и $54^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 54^\circ$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$.
1. $BC = AD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$.
2. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle CBE$ и $\angle ADF$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BD$.
3. $\angle BCE = \angle DAF$ по условию задачи.
Таким образом, треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, в данном случае по стороне и двум углам - УСУ, или AAS).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $CE = AF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5. Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$.
По определению биссектрисы, $\angle BAE = \angle DAE$.
Так как $BC \parallel AD$ (свойство параллелограмма), то $\angle DAE = \angle BEA$ как накрест лежащие углы при секущей $AE$.
Следовательно, $\angle BAE = \angle BEA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABE$ является равнобедренным, и $AB = BE$.
По условию $BC = 12$ см и отрезок $BE$ больше отрезка $EC$ в 3 раза, то есть $BE = 3 \cdot EC$.
Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BE + EC$.
Подставим известные значения: $12 = 3 \cdot EC + EC$.
$12 = 4 \cdot EC$
$EC = 3$ см.
Тогда $BE = 3 \cdot 3 = 9$ см.
Поскольку $AB = BE$, то $AB = 9$ см.
Стороны параллелограмма равны $AB=9$ см и $BC=12$ см.
Периметр параллелограмма $P = 2(AB+BC) = 2(9+12) = 2(21) = 42$ см.

Ответ: 42 см.

6. Пусть $O$ — середина диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$. По условию, прямая $MK$ проходит через точку $O$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$.
1. $AO = CO$, так как $O$ — середина $AC$.
2. $\angle OAK = \angle OCM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
3. $\angle AOK = \angle COM$ как вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle AOK = \triangle COM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AK = MC$.
Теперь рассмотрим четырехугольник $AMCK$.
Стороны $AK$ и $MC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, следовательно, $AK \parallel MC$.
Мы доказали, что в четырехугольнике $AMCK$ две противоположные стороны ($AK$ и $MC$) равны и параллельны.
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Следовательно, $AMCK$ — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см.

2. Основания трапеции относятся как 3 : 5, а средняя линия равна 32 см. Найдите основания трапеции.

3. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle ADB = 43^\circ, \angle ACD = 37^\circ, \angle CAD = 22^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 9 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна 12 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция.

Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см.

2. Основания трапеции относятся как 3 : 5, а средняя линия равна 32 см. Найдите основания трапеции.

3. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle ADB = 43^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$, $\angle CAD = 22^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 9 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна 12 см.

1. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а средние линии, параллельные этим сторонам, равны соответственно $m_a, m_b, m_c$. Тогда:
$a = 2 \cdot m_a$
$b = 2 \cdot m_b$
$c = 2 \cdot m_c$
По условию, средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см. Следовательно, стороны треугольника равны:
$a = 2 \cdot 6 = 12$ см
$b = 2 \cdot 9 = 18$ см
$c = 2 \cdot 10 = 20$ см
Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 18 + 20 = 50$ см.
Ответ: 50 см.

2. Длина средней линии трапеции $m$ равна полусумме её оснований $a$ и $b$:
$m = \frac{a+b}{2}$
По условию, основания относятся как 3 : 5. Обозначим их как $a = 3x$ и $b = 5x$. Средняя линия равна 32 см. Подставим эти значения в формулу:
$32 = \frac{3x + 5x}{2}$
$32 = \frac{8x}{2}$
$32 = 4x$
$x = \frac{32}{4} = 8$
Теперь найдём длины оснований:
$a = 3x = 3 \cdot 8 = 24$ см
$b = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см
Ответ: 24 см и 40 см.

3. Согласно свойству описанного четырёхугольника (теореме Пито), в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны. Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — её боковые стороны. Тогда должно выполняться равенство:
$a + b = c + d$
По условию, боковые стороны равны 7 см и 12 см. Значит, $c = 7$ см и $d = 12$ см.
Сумма боковых сторон: $c + d = 7 + 12 = 19$ см.
Следовательно, сумма оснований также равна 19 см: $a + b = 19$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:
$P = a + b + c + d = (a+b) + (c+d) = 19 + 19 = 38$ см.
Ответ: 38 см.

4. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=3$ см и $AD=7$ см, и боковыми сторонами $AB=CD$. Диагональ $AC$ делит тупой угол $\angle BCD$ пополам, то есть $\angle BCA = \angle ACD$.
Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
Отсюда следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.
Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $CD = AD$.
По условию $AD=7$ см, значит $CD=7$ см.
Так как трапеция равнобокая, то её боковые стороны равны: $AB=CD=7$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 7 + 3 + 7 + 7 = 24$ см.
Ответ: 24 см.

5. Для четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, справедливы следующие свойства:
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Дано: $\angle ADB = 43^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$, $\angle CAD = 22^\circ$.
Используем первое свойство, чтобы найти части углов четырёхугольника:
- $\angle ACB$ и $\angle ADB$ опираются на дугу $AB$, следовательно, $\angle ACB = \angle ADB = 43^\circ$.
- $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, следовательно, $\angle ABD = \angle ACD = 37^\circ$.
- $\angle CBD$ и $\angle CAD$ опираются на дугу $CD$, следовательно, $\angle CBD = \angle CAD = 22^\circ$.
Теперь найдём углы четырёхугольника, суммируя их части:
$\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 37^\circ + 22^\circ = 59^\circ$.
$\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 43^\circ + 37^\circ = 80^\circ$.
Используем второе свойство для нахождения оставшихся углов:
$\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
$\angle B + \angle D = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$.
Ответ: $\angle A = 100^\circ$, $\angle B = 59^\circ$, $\angle C = 80^\circ$, $\angle D = 121^\circ$.

6. В равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота равна средней линии.
Пусть высота трапеции $h$, а средняя линия $m$. По условию, $h = 9$ см. Следовательно, $m = 9$ см.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований $a$ и $b$:
$m = \frac{a+b}{2}$
Отсюда сумма оснований равна:
$a+b = 2 \cdot m = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме оснований и боковых сторон. По условию, трапеция равнобокая, и её боковая сторона равна 12 см. Значит, обе боковые стороны равны 12 см.
$P = (a+b) + c + d = 18 + 12 + 12 = 42$ см.
Ответ: 42 см.