Страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 121, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 120

Рис. 121

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 121, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 121

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно воспользоваться методом дополнения до прямоугольника. Суть метода заключается в том, чтобы описать вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого проходят через вершины треугольника и параллельны линиям сетки, а затем из площади этого прямоугольника вычесть площади "лишних" фигур (в данном случае — трех прямоугольных треугольников).

Сначала определим размеры прямоугольника, описанного вокруг треугольника. Его ширина (горизонтальный размер) равна 6 клеткам, а высота (вертикальный размер) — 3 клеткам. Поскольку по условию длина стороны клетки равна единице, площадь прямоугольника ($S_{прям}$) составляет: $S_{прям} = 6 \times 3 = 18$ квадратных единиц.

Далее, найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся в углах этого прямоугольника и дополняют исходный треугольник до него. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – длины его катетов.

• Первый треугольник (в левом нижнем углу) имеет катеты длиной 3 и 3 единицы. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$ квадратных единиц.
• Второй треугольник (в правом верхнем углу) имеет катеты длиной 3 и 2 единицы. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ квадратные единицы.
• Третий треугольник (в правом нижнем углу) имеет катеты длиной 6 и 1 единицу. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3$ квадратные единицы.

Наконец, чтобы найти площадь искомого треугольника ($S_{иск}$), вычтем из площади прямоугольника сумму площадей этих трех треугольников: $S_{иск} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 18 - (4,5 + 3 + 3) = 18 - 10,5 = 7,5$ квадратных единиц.

Ответ: 7,5

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $A$ и $B$.

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $A$ и $B$.

Пусть $h_A$ и $h_B$ — высоты треугольника $ABC$, проведённые из вершин $A$ и $B$ соответственно. Высота $h_A$ проведена к стороне $BC$, а высота $h_B$ — к стороне $AC$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами через эти высоты и соответствующие им стороны:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:$BC \cdot h_A = AC \cdot h_B$

Нам необходимо найти отношение высот, проведённых из вершин $A$ и $B$, то есть отношение $h_A$ к $h_B$. Выразим это отношение из полученного уравнения:$\frac{h_A}{h_B} = \frac{AC}{BC}$

Из условия задачи известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Так как отрезок $CB$ — это та же сторона, что и $BC$, мы можем записать это отношение в виде дроби:$\frac{AC}{BC} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим это значение в наше выражение для отношения высот:$\frac{h_A}{h_B} = \frac{2}{5}$

Таким образом, искомое отношение высот, проведённых из вершин $A$ и $B$, равно $2:5$. Это означает, что высота, проведённая к более длинной стороне ($BC$), короче высоты, проведённой к более короткой стороне ($AC$).

Ответ: $2:5$

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Высота, проведённая к гипотенузе, обозначим как $h$. Согласно условию задачи, имеем $a = 8$ см и $b = 15$ см.

1. Для нахождения высоты, проведённой к гипотенузе, сначала необходимо найти длину самой гипотенузы. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известные значения катетов:

$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

Теперь найдём длину гипотенузы, извлекая квадратный корень:

$c = \sqrt{289} = 17$ см.

2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами. Первый способ — через катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Второй способ — через гипотенузу и высоту, проведённую к ней:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

3. Поскольку оба выражения определяют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы упростить его:

$a b = c h$

4. Из полученного равенства выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c}$

5. Подставим числовые значения длин катетов и гипотенузы в эту формулу:

$h = \frac{8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17}$ см.

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанную: $120 \div 17 = 7$ (остаток $1$), то есть $h = 7 \frac{1}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.

249. Высота $AH$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 24 \text{ см}$ и $HC = 1 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

249. Высота AH равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) делит сторону BC на отрезки $BH = 24$ см и $HC = 1$ см. Найдите площадь треугольника ABC.

По условию, дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Высота $AH$ опущена на сторону $BC$, следовательно, угол $AHB$ является прямым, а треугольник $ABH$ — прямоугольным.

Высота $AH$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BH = 24$ см и $HC = 1$ см. Чтобы найти длину стороны $BC$, сложим длины этих отрезков:
$BC = BH + HC = 24 + 1 = 25$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = BC$, то длина стороны $AB$ также составляет 25 см:
$AB = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны гипотенуза $AB$ и катет $BH$:

• Гипотенуза $AB = 25$ см
• Катет $BH = 24$ см

Найдем длину второго катета $AH$, который является высотой треугольника $ABC$, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = 25^2 - 24^2$
$AH^2 = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$
$AH = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону $BC$, а высоты, проведенной к ней, — $AH$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 7 = \frac{175}{2} = 87,5$ см².

Ответ: $87,5$ см².

250. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его основания к высоте, проведённой к основанию, равно 16 : 15.

250. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его основания к высоте, проведённой к основанию, равно 16 : 15.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна $b=34$ см, основание равно $a$, а высота, проведенная к основанию, равна $h$.

По условию задачи, отношение основания к высоте равно $16:15$, то есть:

$\frac{a}{h} = \frac{16}{15}$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать:

$a = 16x$

$h = 15x$

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой. Она делит основание на две равные части. Таким образом, высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны $h$ и $\frac{a}{2}$, а гипотенуза равна боковой стороне $b$.

Найдем половину основания:

$\frac{a}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$

Применим теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$

Подставим в уравнение выражения через $x$ и значение боковой стороны:

$(15x)^2 + (8x)^2 = 34^2$

$225x^2 + 64x^2 = 1156$

$289x^2 = 1156$

$x^2 = \frac{1156}{289}$

$x^2 = 4$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин, он должен быть положительным, поэтому $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь мы можем найти длину основания $a$ и высоты $h$:

$a = 16x = 16 \cdot 2 = 32$ см.

$h = 15x = 15 \cdot 2 = 30$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ah$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$ см².

Ответ: $480$ см².

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. По условию, другой катет на 14 см больше, следовательно, его длина составляет $(x + 14)$ см. Длина гипотенузы равна 34 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$): $x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $x^2 + (x^2 + 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2) = 1156$ $x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$ $2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$ $2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $x^2 + 14x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$ $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$ $x_2 = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, то корень $x_1 = -30$ не подходит. Следовательно, длина одного катета равна 16 см.

Тогда длина второго катета равна $16 + 14 = 30$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$ см².

Ответ: 240 см².

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 12 см и 7 см.

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 12 см и 7 см.

Площадь ромба $(S)$ вычисляется по формуле через его диагонали $(d_1$ и $d_2)$. Она равна половине произведения длин диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

По условию задачи, длины диагоналей ромба составляют 12 см и 7 см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 42 \text{ см}^2$

Ответ: $42 \text{ см}^2$.

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 8 см.

12 см и 7 см.

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 8 см.

Площадь квадрата ($S$) можно найти, зная его сторону ($a$) или диагональ ($d$).

Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ $d$ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Из предыдущего уравнения мы можем выразить $a^2$ через $d^2$:

$a^2 = \frac{d^2}{2}$

Следовательно, формула для нахождения площади квадрата через его диагональ выглядит так:

$S = \frac{d^2}{2}$

По условию задачи, диагональ квадрата равна 8 см. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32$

Таким образом, площадь квадрата равна $32 \text{ см}^2$.

Ответ: $32 \text{ см}^2$.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 20 см, а разность диагоналей — 8 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 20 см, а разность диагоналей — 8 см.

Пусть $a$ — сторона ромба, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.
По условию задачи дано:
Сторона $a = 20$ см.
Разность диагоналей $d_1 - d_2 = 8$ см (будем считать, что $d_1$ — большая диагональ).

Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что сторона ромба ($a$) и половины его диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$) образуют прямоугольный треугольник, где сторона ромба является гипотенузой.

По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известное значение $a = 20$:
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 20^2$
$\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 400$
$d_1^2 + d_2^2 = 1600$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $d_1 - d_2 = 8$
2) $d_1^2 + d_2^2 = 1600$

Выразим $d_1$ из первого уравнения:
$d_1 = d_2 + 8$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$(d_2 + 8)^2 + d_2^2 = 1600$
Раскроем скобки:
$(d_2^2 + 16d_2 + 64) + d_2^2 = 1600$
Приведем подобные члены:
$2d_2^2 + 16d_2 - 1536 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$d_2^2 + 8d_2 - 768 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136$
Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$
Теперь найдем корни уравнения для $d_2$:
$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 56}{2}$
Так как длина диагонали не может быть отрицательной, мы выбираем только положительный корень:
$d_2 = \frac{-8 + 56}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Зная $d_2$, найдем $d_1$:
$d_1 = d_2 + 8 = 24 + 8 = 32$ см.

Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим найденные значения $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 = 16 \cdot 24 = 384$ см$^2$.

Ответ: 384 см$^2$.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 5 : 12, а высота равна 60 см.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 5 : 12, а высота равна 60 см.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$, сторона ромба — $a$, а его высота — $h$.

По условию задачи, отношение диагоналей $d_1 : d_2 = 5 : 12$, а высота $h = 60$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $d_1 = 5x$ и $d_2 = 12x$.

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле через его диагонали:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (5x) \cdot (12x) = \frac{60x^2}{2} = 30x^2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба $a$.

Используя теорему Пифагора, выразим сторону ромба $a$ через $x$:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$a^2 = (\frac{5x}{2})^2 + (\frac{12x}{2})^2 = \frac{25x^2}{4} + \frac{144x^2}{4} = \frac{169x^2}{4}$$a = \sqrt{\frac{169x^2}{4}} = \frac{13x}{2}$

Другая формула для площади ромба — через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади:$30x^2 = a \cdot h$

Подставим в это равенство выражение для $a$ и известное значение $h$:$30x^2 = (\frac{13x}{2}) \cdot 60$$30x^2 = 13x \cdot 30$

Так как длина диагоналей должна быть положительной, $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $30x$:$x = 13$.

Теперь, зная значение $x$, найдем площадь ромба:$S = 30x^2 = 30 \cdot 13^2 = 30 \cdot 169 = 5070$ см$^2$.

Ответ: 5070 см$^2$.