Номер 249, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Высота $AH$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 24 \text{ см}$ и $HC = 1 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

249. Высота AH равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) делит сторону BC на отрезки $BH = 24$ см и $HC = 1$ см. Найдите площадь треугольника ABC.

По условию, дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Высота $AH$ опущена на сторону $BC$, следовательно, угол $AHB$ является прямым, а треугольник $ABH$ — прямоугольным.

Высота $AH$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BH = 24$ см и $HC = 1$ см. Чтобы найти длину стороны $BC$, сложим длины этих отрезков:
$BC = BH + HC = 24 + 1 = 25$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = BC$, то длина стороны $AB$ также составляет 25 см:
$AB = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны гипотенуза $AB$ и катет $BH$:

• Гипотенуза $AB = 25$ см
• Катет $BH = 24$ см

Найдем длину второго катета $AH$, который является высотой треугольника $ABC$, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = 25^2 - 24^2$
$AH^2 = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$
$AH = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону $BC$, а высоты, проведенной к ней, — $AH$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 7 = \frac{175}{2} = 87,5$ см².

Ответ: $87,5$ см².