Номер 245, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Сторона квадрата ABCD равна 10 см. На его сторонах BC и CD отмечены точки K и M так, что $BK = 2 \text{ см}$, $DM = 6 \text{ см}$ (рис. 120). Найдите площадь треугольника AKM.

245. Сторона квадрата $ABCD$ равна 10 см. На его сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $K$ и $M$ так, что $BK = 2$ см, $DM = 6$ см (рис. 120). Найдите площадь треугольника $AKM$.

Рис. 120

Для того чтобы найти площадь треугольника AKM, мы можем вычислить площадь всего квадрата ABCD и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников: ABK, KCM и ADM.

1. Найдем площадь квадрата ABCD. Сторона квадрата по условию равна 10 см, следовательно, его площадь $S_{ABCD}$ равна:

$S_{ABCD} = 10^2 = 100$ см².

2. Теперь вычислим площади трех прямоугольных треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника ABK ($\angle B = 90^\circ$) с катетами $AB = 10$ см и $BK = 2$ см равна:

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10$ см².

Площадь прямоугольного треугольника ADM ($\angle D = 90^\circ$) с катетами $AD = 10$ см и $DM = 6$ см равна:

$S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Для нахождения площади прямоугольного треугольника KCM ($\angle C = 90^\circ$) сначала определим длины его катетов KC и CM:

$KC = BC - BK = 10 - 2 = 8$ см.

$CM = CD - DM = 10 - 6 = 4$ см.

Теперь найдем площадь треугольника KCM:

$S_{KCM} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см².

3. Наконец, найдем площадь искомого треугольника AKM, вычитая из площади квадрата сумму площадей трех других треугольников:

$S_{AKM} = S_{ABCD} - (S_{ABK} + S_{KCM} + S_{ADM})$

$S_{AKM} = 100 - (10 + 16 + 30) = 100 - 56 = 44$ см².

Ответ: 44 см².