Номер 238, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом. Из точки O проведём перпендикуляр OH к стороне AB (точка H лежит на AB).

По условию задачи, этот перпендикуляр делит сторону AB на два отрезка. Пусть $AH = 3$ см и $HB = 12$ см.

1. Найдем длину стороны ромба. Длина стороны $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = AB = AH + HB = 3 + 12 = 15$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (диагонали ромба перпендикулярны, значит $\angle AOB = 90^\circ$). В этом треугольнике OH — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

3. Воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$OH^2 = AH \cdot HB$

$OH^2 = 3 \cdot 12 = 36$

$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

4. Теперь найдём половины диагоналей ромба, которые являются катетами AO и BO в треугольнике $\triangle AOB$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOH$ и $\triangle BOH$.

По теореме Пифагора для $\triangle AOH$:

$AO^2 = AH^2 + OH^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$AO = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle BOH$:

$BO^2 = HB^2 + OH^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$

$BO = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

5. Теперь найдём длины полных диагоналей $d_1$ и $d_2$ ромба:

$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.

$d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

6. Площадь ромба вычисляется по формуле как половина произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{5}) \cdot (12\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$ см$^2$.

Ответ: 180 см$^2$.