Номер 235, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 25$ см и $b = 7$ см. Меньшая сторона, соответственно, равна 7 см. Обозначим вершины параллелограмма как $A$, $B$, $C$, $D$, так что смежные стороны равны $AB = 25$ см и $AD = 7$ см.

По условию задачи, одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне ($AD = 7$ см). Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, какая из двух диагоналей ($AC$ или $BD$) перпендикулярна стороне $AD$.

Случай 1: Диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$

В этом случае треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADB = 90^\circ$). Сторона $AD$ является катетом ($AD = 7$ см), а сторона $AB$ — гипотенузой ($AB = 25$ см). Второй катет — это диагональ $BD$.

По теореме Пифагора найдем длину диагонали $BD$:
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$BD = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если в качестве основания взять сторону $AD$, то высота, проведенная к ней из вершины $B$, будет совпадать с диагональю $BD$, поскольку по условию этого случая $BD \perp AD$.

Таким образом, площадь $S$ параллелограмма вычисляется как:
$S = AD \times BD = 7 \times 24 = 168$ см².

Случай 2: Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $AD$

В этом случае треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle CAD = 90^\circ$). Сторона $AD$ является катетом ($AD = 7$ см). Сторона $CD$ в параллелограмме равна стороне $AB$, поэтому $CD = 25$ см. В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ является гипотенузой. Второй катет — это диагональ $AC$.

По теореме Пифагора найдем длину диагонали $AC$:
$AC^2 = CD^2 - AD^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных по площади треугольника. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ACD$. Площадь прямоугольного треугольника $ACD$ равна половине произведения его катетов.

Площадь треугольника $ACD$ равна:
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times AC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ см².

Следовательно, площадь $S$ всего параллелограмма равна:
$S = 2 \times S_{\triangle ACD} = 2 \times 84 = 168$ см².

Как видим, оба возможных случая приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 168 см².