Номер 229, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 3 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 3 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD. Пусть AK — биссектриса угла A, которая пересекает диагональ BD в точке M. По условию, точка M делит диагональ BD на отрезки длиной 3 см и 6 см. Таким образом, вся диагональ BD имеет длину $3 + 6 = 9$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Этот треугольник является прямоугольным, так как угол A в прямоугольнике равен 90°. Отрезок AM является биссектрисой угла A в этом треугольнике.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае это означает:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BM}{MD} $$

Возможны два случая соотношения отрезков:

1. BM = 3 см и MD = 6 см

В этом случае отношение сторон равно:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Отсюда получаем, что $AD = 2 \cdot AB$.

2. BM = 6 см и MD = 3 см

В этом случае отношение сторон равно:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{6}{3} = 2 $$

Отсюда получаем, что $AB = 2 \cdot AD$.

Оба случая описывают один и тот же прямоугольник, просто с разным расположением сторон. Площадь в обоих случаях будет одинаковой. Решим задачу для первого случая, где $AD = 2 \cdot AB$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

$$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $$

Подставим известные нам значения и соотношение сторон:

$$ AB^2 + (2 \cdot AB)^2 = 9^2 $$

$$ AB^2 + 4 \cdot AB^2 = 81 $$

$$ 5 \cdot AB^2 = 81 $$

$$ AB^2 = \frac{81}{5} $$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = AB \cdot AD$. Подставим в эту формулу соотношение $AD = 2 \cdot AB$:

$$ S = AB \cdot (2 \cdot AB) = 2 \cdot AB^2 $$

Теперь подставим найденное значение $AB^2$:

$$ S = 2 \cdot \frac{81}{5} = \frac{162}{5} = 32.4 \text{ см}^2 $$

Ответ: $32.4 \text{ см}^2$.