Номер 227, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Если одну из сторон, например $a$, уменьшить в 6 раз, её новая длина станет $a_1 = \frac{a}{6}$. Длина второй стороны $b$ не изменится.

Новая площадь прямоугольника $S_1$ будет равна произведению новых сторон:

$S_1 = a_1 \cdot b = \frac{a}{6} \cdot b = \frac{a \cdot b}{6}$.

Так как $S = a \cdot b$, то $S_1 = \frac{S}{6}$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится в 6 раз.

Ответ: площадь уменьшится в 6 раз.

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S = a \cdot b$.

При увеличении одной стороны в 3 раза, а другой — в 5 раз, новые длины сторон будут $a_1 = 3a$ и $b_1 = 5b$.

Новая площадь прямоугольника $S_1$ будет равна:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (3a) \cdot (5b) = 15 \cdot (a \cdot b)$.

Поскольку $S = a \cdot b$, получаем $S_1 = 15S$. Это означает, что площадь прямоугольника увеличится в 15 раз.

Ответ: площадь увеличится в 15 раз.

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S = a \cdot b$.

Новые длины сторон после изменений будут $a_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$ и $b_1 = b \cdot \sqrt{12}$.

Вычислим новую площадь прямоугольника $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot (b \cdot \sqrt{12}) = (a \cdot b) \cdot \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.

Упростим коэффициент изменения площади:$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, новая площадь $S_1 = (a \cdot b) \cdot 2 = 2S$. Это означает, что площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.

Ответ: площадь увеличится в 2 раза.