Номер 223, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223.Площадь прямоугольника равна $54 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если одна из них на $3 \text{ см}$ меньше другой.

223. Площадь прямоугольника равна $54 \, \text{см}^2$. Найдите его стороны, если одна из них на 3 см меньше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см.
Согласно условию, другая сторона на 3 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 3)$ см.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон:
$S = a \cdot b$
Нам известно, что площадь равна 54 см². Подставим выражения для сторон и значение площади в формулу, чтобы составить уравнение:
$x \cdot (x + 3) = 54$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x = 54$
$x^2 + 3x - 54 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Решение через дискриминант:
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 6 см.
Теперь найдем длину большей стороны:
$x + 3 = 6 + 3 = 9$ см.
Проверим наше решение: произведение сторон должно быть равно площади.
$6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.
Условие выполнено.
Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 9 см.