Номер 219, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Многоугольники. Вариант 3. Упражнения - номер 219, страница 95.

Условие 2017.

219. Серединные перпендикуляры шести сторон семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого семиугольника можно описать окружность.

Условие 2021.

219. Серединные перпендикуляры шести сторон семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого семиугольника можно описать окружность.

Решение 2021.

Пусть дан семиугольник с вершинами $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$, расположенными последовательно. Сторонами семиугольника являются отрезки $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_6A_7, A_7A_1$.

По условию задачи, серединные перпендикуляры к шести сторонам этого семиугольника пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$. Без ограничения общности, предположим, что это серединные перпендикуляры к сторонам $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6$ и $A_6A_7$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство для точки $O$ и каждой из шести сторон:

• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, то расстояния от $O$ до вершин $A_1$ и $A_2$ равны: $OA_1 = OA_2$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_2A_3$, то $OA_2 = OA_3$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_3A_4$, то $OA_3 = OA_4$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_4A_5$, то $OA_4 = OA_5$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_5A_6$, то $OA_5 = OA_6$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_6A_7$, то $OA_6 = OA_7$.

Объединив эти равенства в единую цепь, получаем:$OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_4 = OA_5 = OA_6 = OA_7$.

Это означает, что все семь вершин семиугольника ($A_1, A_2, \dots, A_7$) находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

Многоугольник является вписанным в окружность (или, что эквивалентно, около него можно описать окружность), если все его вершины лежат на этой окружности. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда все вершины многоугольника равноудалены от некоторой точки, являющейся центром окружности.

Поскольку мы доказали, что все вершины семиугольника равноудалены от точки $O$, они лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$. Следовательно, около этого семиугольника можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка пересечения серединных перпендикуляров к шести сторонам равноудалена от всех семи вершин семиугольника, то эти вершины лежат на одной окружности, а значит, около семиугольника можно описать окружность.