Номер 217, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Все стороны девятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

217. Все стороны девятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

Поскольку девятиугольник вписан в окружность и все его стороны равны, то этот многоугольник является правильным. У правильного многоугольника равны не только все стороны, но и все внутренние углы. Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника существует несколько способов.

Способ 1: Использование формулы суммы углов многоугольника

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Для девятиугольника $n=9$, поэтому сумма его внутренних углов равна:

$S_9 = (9-2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$

Так как девятиугольник правильный, все его 9 углов равны. Чтобы найти величину одного угла, нужно разделить общую сумму на количество углов:

$α = \frac{S_9}{9} = \frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ$

Способ 2: Использование свойства вписанного многоугольника

Так как правильный девятиугольник вписан в окружность, его вершины делят окружность на 9 равных дуг. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, каждая из 9 дуг имеет меру:

$\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$

Каждый угол девятиугольника является вписанным углом, который опирается на дугу, состоящую из $9-2=7$ таких меньших дуг. Величина этой большой дуги равна:

$7 \cdot 40^\circ = 280^\circ$

Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Таким образом, каждый угол девятиугольника равен:

$α = \frac{280^\circ}{2} = 140^\circ$

Ответ: все углы девятиугольника равны $140^\circ$.