Номер 210, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. В трапеции ABCD (рис. 117) $AD = 14 \text{ см}$, $DC = 2\sqrt{6} \text{ см}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание $BC$ трапеции.

Рис. 117

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 117) $AD = 14$ см, $DC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 135^\circ$. Найдите основание $BC$ трапеции.

Рис. 117

Для решения задачи опустим из вершин B и C высоты на прямую, содержащую основание AD. Обозначим основания высот как H и K соответственно. Таким образом, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Высота трапеции равна $h = BH = CK$.

1. Рассмотрим треугольник CKD.

Поскольку угол $\angle D = 135^{\circ}$ (тупой), основание высоты K, опущенной из вершины C, будет лежать на продолжении основания AD за точку D. В этом случае угол $\angle KDC$ будет смежным с углом $\angle ADC$.

$\angle KDC = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

Треугольник $CKD$ является прямоугольным ($\angle CKD = 90^{\circ}$). Найдем высоту трапеции $CK$ и длину отрезка $KD$:

$CK = h = DC \cdot \sin(\angle KDC) = 2\sqrt{6} \cdot \sin(45^{\circ}) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $\triangle CKD$ — прямоугольный с углом $45^{\circ}$, он равнобедренный, следовательно, $KD = CK = 2\sqrt{3}$ см.

2. Рассмотрим треугольник ABH.

Поскольку угол $\angle A = 30^{\circ}$ (острый), основание высоты H, опущенной из вершины B, будет лежать на самом основании AD. Треугольник $ABH$ является прямоугольным ($\angle AHB = 90^{\circ}$) с высотой $BH = h = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{BH}{\tan(\angle A)} = \frac{2\sqrt{3}}{\tan(30^{\circ})} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

3. Найдем основание BC.

Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $BC = HK$.

Длину отрезка $HK$ можно выразить через длины отрезков на прямой $AK$: $HK = AK - AH$.

В свою очередь, $AK = AD + DK$.

Объединив выражения, получаем: $BC = (AD + DK) - AH$.

Подставим известные значения:

$BC = (14 + 2\sqrt{3}) - 6 = 8 + 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8 + 2\sqrt{3}$ см.