Номер 205, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ равна $b$ и образует с диагональю $AC$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

205. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ равна $b$ и образует с диагональю $AC$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Согласно условию, сторона $BC = b$ и угол между диагональю $AC$ и стороной $BC$ равен $\alpha$, то есть $\angle BCA = \alpha$.

Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник. В этом треугольнике $BC$ — это катет, прилежащий к углу $\alpha$, а $AB$ — катет, противолежащий углу $\alpha$. $AC$ — гипотенуза.

Неизвестная сторона

Чтобы найти длину неизвестной стороны $AB$, воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

$\tan(\alpha) = \frac{AB}{BC}$

Подставим известное значение $BC=b$ и выразим $AB$:

$\tan(\alpha) = \frac{AB}{b}$

$AB = b \cdot \tan(\alpha)$

Диагональ прямоугольника

Чтобы найти длину диагонали $AC$, воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известное значение $BC=b$ и выразим $AC$:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{AC}$

$AC = \frac{b}{\cos(\alpha)}$

Ответ: неизвестная сторона равна $b \cdot \tan(\alpha)$, диагональ прямоугольника равна $\frac{b}{\cos(\alpha)}$.