Номер 202, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $\angle B = 64^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $\angle B = 64^{\circ}$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

По условию, в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$ см, а угол при вершине $\angle B = 64^\circ$. $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

• $BD$ делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AD = DC$. Следовательно, $AC = 2 \cdot AD$.
• $BD$ делит угол $\angle B$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2}$.
• $BD$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольники $ABD$ и $CBD$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (где $\angle D = 90^\circ$).

Найдем угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$.

Гипотенуза в этом треугольнике — это сторона $AB = 10$ см. Катетами являются $AD$ и $BD$.

сторону AC

Чтобы найти сторону $AC$, сначала найдем длину отрезка $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AD$ является противолежащим углу $\angle ABD$. Используем синус:

$\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$

Отсюда выразим $AD$:

$AD = AB \cdot \sin(\angle ABD) = 10 \cdot \sin(32^\circ)$ см.

Так как $AC = 2 \cdot AD$, получаем:

$AC = 2 \cdot 10 \cdot \sin(32^\circ) = 20 \sin(32^\circ)$ см.

Ответ: $AC = 20 \sin(32^\circ)$ см.

высоту BD

В том же прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $BD$ является прилежащим к углу $\angle ABD$. Используем косинус:

$\cos(\angle ABD) = \frac{BD}{AB}$

Отсюда выразим $BD$:

$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 10 \cdot \cos(32^\circ)$ см.

Ответ: $BD = 10 \cos(32^\circ)$ см.