Номер 195, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Найдите значение выражения:

1) $tan^2 60^\circ + sin^2 60^\circ$;

2) $2cos^2 30^\circ - cot 45^\circ$.

195. Найдите значение выражения:

1) $tg^2 60^\circ + sin^2 60^\circ$;

2) $2cos^2 30^\circ - ctg45^\circ$.

1) Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ$, необходимо использовать известные значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$\text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Запись $\text{tg}^2 60^\circ$ означает $(\text{tg} 60^\circ)^2$, а $\sin^2 60^\circ$ означает $(\sin 60^\circ)^2$. Подставим числовые значения в исходное выражение:

$\text{tg}^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

Теперь выполним возведение в квадрат для каждого слагаемого:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

Сложим полученные значения:

$3 + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$

2) Чтобы найти значение выражения $2\cos^2 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ$, нам понадобятся значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{ctg} 45^\circ = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\cos^2 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1$

Сначала вычислим значение первого члена выражения:

$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$