Номер 193, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

Для построения угла, косинус которого равен $\frac{2}{5}$, воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и гипотенузой, равной 5 (или в пропорциональных им единицах). Искомым будет угол, прилежащий к катету длиной 2.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку A.

2. От точки A отложим отрезок AB, равный 2 условным единицам (например, 2 см).

3. В точке A построим прямую, перпендикулярную отрезку AB.

4. Из точки B как из центра, с помощью циркуля, проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц так, чтобы она пересекла перпендикулярную прямую. Точку пересечения обозначим C.

5. Соединим точки B и C.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC, где $\angle A = 90^\circ$, катет $AB = 2$ и гипотенуза $BC = 5$. Угол ABC — это искомый угол, так как его косинус по определению равен:
$\cos(\angle ABC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{5}$.

Ответ: Построенный угол ABC является искомым.

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

Для построения угла, тангенс которого равен $\frac{4}{7}$, воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами, равными 4 и 7 (или в пропорциональных им единицах). Искомым будет угол, противолежащий катету длиной 4.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол и обозначим его вершину C.

2. На одной стороне прямого угла отложим от вершины C отрезок BC, равный 7 условным единицам.

3. На другой стороне прямого угла отложим от вершины C отрезок AC, равный 4 условным единицам.

4. Соединим точки A и B.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC, где $\angle C = 90^\circ$, катет $BC = 7$ и катет $AC = 4$. Угол ABC — это искомый угол, так как для него катет AC является противолежащим, а катет BC — прилежащим. Его тангенс по определению равен:
$\tan(\angle ABC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{7}$.

Ответ: Построенный угол ABC является искомым.