Номер 186, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема Пифагора. Вариант 3. Упражнения - номер 186, страница 91.

Условие 2017.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них образует с прямой угол $45^\circ$, а её проекция на эту прямую равна $11\sqrt{2}$ см. Найдите длину второй наклонной, если её проекция на эту прямую равна $\sqrt{82}$ см.

Условие 2021.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них образует с прямой угол $45^{\circ}$, а её проекция на эту прямую равна $11\sqrt{2}$ см. Найдите длину второй наклонной, если её проекция на эту прямую равна $\sqrt{82}$ см.

Решение 2021.

Пусть из точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Тогда $HB$ и $HC$ — это проекции наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $l$ соответственно. Перпендикуляр $AH$ является общим катетом для двух прямоугольных треугольников: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

Рассмотрим первую наклонную, пусть это будет $AB$. По условию, она образует с прямой $l$ угол $45^\circ$, то есть $\angle ABH = 45^\circ$. Длина ее проекции $HB = 11\sqrt{2}$ см.

Треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным, так как $AH$ — перпендикуляр ($\angle AHB = 90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle HAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle ABH = \angle HAB = 45^\circ$), треугольник $\triangle AHB$ является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AH = HB$.

Таким образом, мы нашли длину перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $l$:

$AH = 11\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим вторую наклонную, $AC$. Ее проекция на прямую $l$ по условию равна $HC = \sqrt{82}$ см. Нам нужно найти длину самой наклонной $AC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ нам известны длины двух катетов:

• $AH = 11\sqrt{2}$ см
• $HC = \sqrt{82}$ см

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = AH^2 + HC^2$.

Подставим известные значения:

$AC^2 = (11\sqrt{2})^2 + (\sqrt{82})^2$

$AC^2 = 121 \cdot 2 + 82$

$AC^2 = 242 + 82$

$AC^2 = 324$

Чтобы найти длину наклонной $AC$, извлечем квадратный корень:

$AC = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: 18 см.