Номер 190, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$. Из этих точек к прямой $m$ проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = 3$ см, $BD = 9$ см, $AB = 15$ см.

190. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$. Из этих точек к прямой $m$ проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = 3$ см, $BD = 9$ см, $AB = 15$ см.

По условию задачи, точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой m. Из этих точек к прямой m проведены перпендикуляры AC и BD. Это означает, что $AC \perp m$ и $BD \perp m$. Поскольку два отрезка, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой, то $AC \parallel BD$. Следовательно, фигура ACDB является прямоугольной трапецией с основаниями AC, BD и высотой CD.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из точки A отрезок AE, параллельный CD, до пересечения с прямой, содержащей отрезок BD, в точке E.

Рассмотрим четырехугольник ACDE. В нем стороны AC и ED параллельны (так как обе перпендикулярны CD), а стороны CD и AE параллельны по построению. Угол $\angle ACD = 90^\circ$ по условию. Следовательно, ACDE является прямоугольником. Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны: $AE = CD$ и $ED = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Так как $AE \parallel CD$ и $BD \perp CD$, то $AE \perp BE$, а значит, треугольник ABE — прямоугольный с прямым углом $\angle AEB$. Гипотенуза AB по условию равна 15 см. Катет AE равен искомому отрезку CD.

Поскольку точки A и B лежат в разных полуплоскостях от прямой m, то длина катета BE будет равна сумме длин отрезков BD и ED.$BE = BD + ED = BD + AC = 9 \text{ см} + 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABE:$AB^2 = AE^2 + BE^2$

Подставим известные значения и найдем длину катета AE:$15^2 = AE^2 + 12^2$$225 = AE^2 + 144$$AE^2 = 225 - 144$$AE^2 = 81$$AE = \sqrt{81} = 9$ см.

Так как $AE = CD$, то длина отрезка CD равна 9 см.

Ответ: 9 см.