Номер 197, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\text{tg}\alpha = 4$.

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \text{ctg} \alpha $, если $ \text{tg} \alpha = 4 $.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано, что $tg\alpha = 4$.

Поскольку значение тангенса положительное ($tg\alpha > 0$), угол $\alpha$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. Это означает, что $sin\alpha$ и $cos\alpha$ будут иметь одинаковые знаки: оба положительные (I четверть) или оба отрицательные (III четверть).

ctgα

Котангенс и тангенс — взаимно обратные функции. Их связь выражается формулой: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.
Подставим известное значение $tg\alpha = 4$ в эту формулу:
$ctg\alpha = \frac{1}{4}$
Ответ: $ctg\alpha = \frac{1}{4}$.

cosα

Для нахождения косинуса используем тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим $tg\alpha = 4$ в это тождество:
$1 + 4^2 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$1 + 16 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$17 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
Отсюда выражаем $cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{17}$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $cos\alpha$, соответствующих I и III четвертям:
$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{17}$:
$cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}$
Ответ: $cos\alpha = \frac{\sqrt{17}}{17}$ или $cos\alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.

sinα

Для нахождения синуса воспользуемся определением тангенса: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.
Выразим отсюда синус: $sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha$.
Теперь рассмотрим два возможных случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: Угол $\alpha$ в I четверти.
В этой четверти $cos\alpha > 0$, следовательно, $cos\alpha = \frac{\sqrt{17}}{17}$.
$sin\alpha = 4 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

Случай 2: Угол $\alpha$ в III четверти.
В этой четверти $cos\alpha < 0$, следовательно, $cos\alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.
$sin\alpha = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$

Таким образом, синус также имеет два возможных значения.
Ответ: $sin\alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ или $sin\alpha = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$.