Номер 203, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки A, находящейся на расстоянии 16 см от прямой l, опущен перпендикуляр AH на эту прямую. По определению, длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, следовательно, $AH = 16$ см.

Из точки A к прямой l проведены две наклонные, которые мы обозначим как AB и AC. Эти наклонные образуют с перпендикуляром AH и своими проекциями BH и CH на прямую l два прямоугольных треугольника: ΔAHB и ΔAHC.

Согласно условию, углы, которые наклонные образуют с прямой l, равны 30° и 60°. Пусть $∠ABH = 30°$ и $∠ACH = 60°$. В обоих прямоугольных треугольниках катет AH, противолежащий этим углам, равен 16 см. Длины наклонных AB и AC являются гипотенузами этих треугольников.

Найдем длину первой наклонной (AB)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHB. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$ \sin(∠ABH) = \frac{AH}{AB} $

Подставим известные значения:

$ \sin(30°) = \frac{16}{AB} $

Зная, что $ \sin(30°) = \frac{1}{2} $, получим:

$ \frac{1}{2} = \frac{16}{AB} $

Отсюда находим длину наклонной AB:

$ AB = 16 \cdot 2 = 32 $ см.

Найдем длину второй наклонной (AC)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC.

$ \sin(∠ACH) = \frac{AH}{AC} $

Подставим известные значения:

$ \sin(60°) = \frac{16}{AC} $

Зная, что $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получим:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{AC} $

Отсюда находим длину наклонной AC:

$ AC = \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}} $ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ AC = \frac{32 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3} $ см.

Ответ: длины наклонных равны 32 см и $ \frac{32\sqrt{3}}{3} $ см.