Номер 204, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть из точки A, не лежащей на прямой l, опущен перпендикуляр AH на эту прямую. По условию, расстояние от точки до прямой равно 20 см, следовательно, длина перпендикуляра $AH = 20$ см.

Из точки A к прямой l проведены две наклонные, AB и AC, которые образуют с прямой углы $ \angle ABH = 60^\circ $ и $ \angle ACH = 45^\circ $. Точки B и C являются основаниями наклонных, а отрезки BH и CH — проекциями этих наклонных на прямую l. Для нахождения расстояния BC необходимо сначала найти длины этих проекций.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ΔAHB и ΔAHC, в которых катет AH является общим.

• В прямоугольном треугольнике ΔAHB ( $ \angle AHB = 90^\circ $ ), катет BH равен:
  $ \text{ctg}(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} \implies BH = AH \cdot \text{ctg}(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} $ см.
• В прямоугольном треугольнике ΔAHC ( $ \angle AHC = 90^\circ $ ), катет CH равен:
  $ \text{ctg}(\angle ACH) = \frac{CH}{AH} \implies CH = AH \cdot \text{ctg}(45^\circ) = 20 \cdot 1 = 20 $ см.

Расстояние между основаниями наклонных (длина отрезка BC) зависит от их взаимного расположения относительно основания перпендикуляра H. Существует два возможных случая.

Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Случай 1: Основания наклонных лежат по разные стороны от основания перпендикуляра.
В этом случае искомое расстояние BC равно сумме длин проекций BH и CH.
$ BC = BH + CH = \frac{20\sqrt{3}}{3} + 20 = 20 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Случай 2: Основания наклонных лежат по одну сторону от основания перпендикуляра.
В этом случае искомое расстояние BC равно модулю разности длин проекций CH и BH.
$ BC = |CH - BH| = \left| 20 - \frac{20\sqrt{3}}{3} \right| = 20 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных равно $ 20 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см или $ 20 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Сколько решений имеет задача?

Так как существует два возможных варианта расположения оснований наклонных на прямой (по разные стороны от основания перпендикуляра или по одну сторону), задача имеет два различных решения для искомого расстояния.
Ответ: 2.