Номер 200, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 6$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 4$ см, $\sin B = \frac{1}{3}$;

3) $AB = 2$ см, $ctg A = 3$;

4) $AC = 5$ см, $\cos A = \frac{3}{7}$;

5) $BC = 3$ см, $\cos A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 10$ см, $tg B = 2$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре-угольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 6$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 4$ см, $\sin B = \frac{1}{3}$;

3) $AB = 2$ см, $ctgA = 3$;

4) $AC = 5$ см, $\cos A = \frac{3}{7}$;

5) $BC = 3$ см, $\cos A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 10$ см, $tgB = 2$.

1) AC = 6 см, sinB = 1/4;

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, синус угла B определяется как отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $sinB = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{4} = \frac{6}{AB}$

Отсюда выразим и найдем гипотенузу AB:

$AB = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Теперь найдем неизвестный катет BC, используя теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = 24^2 - 6^2 = 576 - 36 = 540$

$BC = \sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15}$ см.

Ответ: $AB = 24$ см, $BC = 6\sqrt{15}$ см.

2) BC = 4 см, sinB = 1/3;

Из основного тригонометрического тождества $sin^2B + cos^2B = 1$ найдем косинус угла B:

$cos^2B = 1 - sin^2B = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Поскольку B - острый угол прямоугольного треугольника, $cosB$ положителен: $cosB = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

В прямоугольном треугольнике косинус угла B - это отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB: $cosB = \frac{BC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $AB = \frac{4 \cdot 3}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Катет AC можно найти из определения синуса угла B: $sinB = \frac{AC}{AB}$.

$AC = AB \cdot sinB = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $AB = 3\sqrt{2}$ см, $AC = \sqrt{2}$ см.

3) AB = 2 см, ctgA = 3;

Котангенс угла A в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету BC: $ctgA = \frac{AC}{BC}$.

Из условия $ctgA = 3$, получаем соотношение между катетами: $AC = 3 \cdot BC$.

Применим теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$ и подставим в нее выражение для AC:

$(3 \cdot BC)^2 + BC^2 = 2^2$

$9BC^2 + BC^2 = 4$

$10BC^2 = 4$

$BC^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$BC = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ см.

Теперь найдем катет AC: $AC = 3 \cdot BC = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$ см.

Ответ: $AC = \frac{3\sqrt{10}}{5}$ см, $BC = \frac{\sqrt{10}}{5}$ см.

4) AC = 5 см, cosA = 3/7;

Косинус угла A в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $cosA = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{3}{7} = \frac{5}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $3 \cdot AB = 5 \cdot 7 \Rightarrow AB = \frac{35}{3}$ см.

Найдем катет BC по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (\frac{35}{3})^2 - 5^2 = \frac{1225}{9} - 25 = \frac{1225 - 225}{9} = \frac{1000}{9}$

$BC = \sqrt{\frac{1000}{9}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 10}}{3} = \frac{10\sqrt{10}}{3}$ см.

Ответ: $AB = \frac{35}{3}$ см, $BC = \frac{10\sqrt{10}}{3}$ см.

5) BC = 3 см, cosA = 3/5;

Из основного тригонометрического тождества $sin^2A + cos^2A = 1$ найдем синус угла A:

$sin^2A = 1 - cos^2A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Поскольку A - острый угол, $sinA = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Синус угла A - это отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $sinA = \frac{BC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{4}{5} = \frac{3}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $4 \cdot AB = 3 \cdot 5 \Rightarrow AB = \frac{15}{4} = 3,75$ см.

Найдем катет AC из определения косинуса угла A: $cosA = \frac{AC}{AB}$.

$AC = AB \cdot cosA = \frac{15}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Ответ: $AC = 2,25$ см, $AB = 3,75$ см.

6) AB = 10 см, tgB = 2.

Тангенс угла B в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC: $tgB = \frac{AC}{BC}$.

Из условия $tgB = 2$, получаем соотношение между катетами: $AC = 2 \cdot BC$.

Применим теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$ и подставим в нее выражение для AC:

$(2 \cdot BC)^2 + BC^2 = 10^2$

$4BC^2 + BC^2 = 100$

$5BC^2 = 100$

$BC^2 = \frac{100}{5} = 20$

$BC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем катет AC: $AC = 2 \cdot BC = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $AC = 4\sqrt{5}$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.