Номер 196, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите $sin\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $cos\alpha = \frac{2}{3}$.

196. Найти $ \sin\alpha $, $ \operatorname{tg}\alpha $ и $ \operatorname{ctg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано $cosα = 2/3$. Поскольку значение косинуса положительное, угол $α$ может находиться в I или IV координатной четверти. В I четверти все тригонометрические функции ($sinα, tgα, ctgα$) положительны. В IV четверти $sinα, tgα, ctgα$ отрицательны. Поэтому для каждой искомой величины будет два возможных значения.

sinα

Для нахождения $sinα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.

Подставим известное значение $cosα = 2/3$ в формулу:

$sin^2α + (2/3)^2 = 1$

$sin^2α + 4/9 = 1$

$sin^2α = 1 - 4/9$

$sin^2α = 5/9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для синуса:

$sinα = ±\sqrt{5/9} = ±\sqrt{5}/3$

Ответ: $sinα = \sqrt{5}/3$ или $sinα = -\sqrt{5}/3$.

tgα

Тангенс угла определяется по формуле $tgα = sinα / cosα$. Мы должны рассмотреть два случая, соответствующие двум возможным значениям $sinα$.

1. Если $sinα = \sqrt{5}/3$ (случай для I четверти):

$tgα = (\sqrt{5}/3) / (2/3) = \sqrt{5}/3 \cdot 3/2 = \sqrt{5}/2$

2. Если $sinα = -\sqrt{5}/3$ (случай для IV четверти):

$tgα = (-\sqrt{5}/3) / (2/3) = -\sqrt{5}/3 \cdot 3/2 = -\sqrt{5}/2$

Ответ: $tgα = \sqrt{5}/2$ или $tgα = -\sqrt{5}/2$.

ctgα

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $ctgα = 1/tgα$. Также можно использовать формулу $ctgα = cosα / sinα$. Воспользуемся найденными значениями тангенса.

1. Если $tgα = \sqrt{5}/2$ (случай для I четверти):

$ctgα = 1 / (\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $ctgα = (2\sqrt{5}) / (\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}/5$.

2. Если $tgα = -\sqrt{5}/2$ (случай для IV четверти):

$ctgα = 1 / (-\sqrt{5}/2) = -2/\sqrt{5} = -(2\sqrt{5}) / (\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}/5$.

Ответ: $ctgα = 2\sqrt{5}/5$ или $ctgα = -2\sqrt{5}/5$.