Номер 199, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 10$ см, $BC = 7$ см, $AD = 17$ см. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 10$ см, $BC = 7$ см, $AD = 17$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 10$ см, меньшее основание $BC = 7$ см и большее основание $AD = 17$ см.

1. Для нахождения углов трапеции опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC || AD$), а высоты перпендикулярны основанию ($BH ⊥ AD$ и $CK ⊥ AD$), то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Из этого следует, что $HK = BC = 7$ см.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABH$ и $ΔDCK$. В равнобокой трапеции боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны высоты, проведенные к одному основанию ($BH = CK$). Следовательно, треугольники $ΔABH$ и $ΔDCK$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие катеты также равны: $AH = DK$.

3. Длина большего основания $AD$ представляет собой сумму длин отрезков $AH, HK$ и $DK$:
$AD = AH + HK + DK$.

Так как $AH = DK$, мы можем переписать это выражение следующим образом:
$AD = AH + HK + AH = 2 \cdot AH + HK$.

Подставим известные значения в это уравнение:
$17 = 2 \cdot AH + 7$.

Теперь решим уравнение и найдем длину $AH$:
$2 \cdot AH = 17 - 7$
$2 \cdot AH = 10$
$AH = 5$ см.

4. В прямоугольном треугольнике $ΔABH$ нам теперь известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AH = 5$ см, прилежащий к углу $A$. Используя определение косинуса, найдем угол $A$:

$\cos(∠A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60°$. Таким образом, $∠A = 60°$.

5. Теперь найдем остальные углы трапеции, используя свойства равнобокой трапеции:

• Углы при каждом основании равны. Следовательно, $∠D = ∠A = 60°$.
• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Следовательно, $∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.
• Так как $∠C = ∠B$, то $∠C = 120°$.

Таким образом, углы трапеции равны $60°, 120°, 120°$ и $60°$.

Ответ: $60°, 120°, 120°, 60°$.