Страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи, биссектриса одного из острых углов делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Это означает, что общая длина этого катета составляет $15 + 25 = 40$ см.

Рассмотрим возможный случай. Пусть катет $a = 40$ см. Биссектриса противолежащего этому катету острого угла делит его на отрезки 15 см и 25 см. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим прилежащим сторонам. В нашем случае, это отношение гипотенузы $c$ ко второму катету $b$:

$\frac{c}{b} = \frac{25}{15}$

Мы берем отношение большего отрезка (25 см) к меньшему (15 см), так как гипотенуза $c$ всегда длиннее катета $b$. Упростим это отношение:

$\frac{c}{b} = \frac{5}{3}$

Из этого соотношения выразим гипотенузу через катет $b$: $c = \frac{5}{3}b$.

Теперь применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ для данного треугольника, подставив известные значения:

$40^2 + b^2 = (\frac{5}{3}b)^2$

Решим полученное уравнение:

$1600 + b^2 = \frac{25}{9}b^2$

$1600 = \frac{25}{9}b^2 - b^2$

$1600 = (\frac{25}{9} - 1)b^2$

$1600 = \frac{16}{9}b^2$

$b^2 = \frac{1600 \cdot 9}{16} = 100 \cdot 9 = 900$

$b = \sqrt{900} = 30$ см.

Мы нашли длину второго катета. Теперь найдем длину гипотенузы:

$c = \frac{5}{3}b = \frac{5}{3} \cdot 30 = 50$ см.

Итак, стороны прямоугольного треугольника равны 30 см, 40 см и 50 см. (Если бы мы изначально предположили, что катет $b=40$ см, то пришли бы к тому же результату для сторон треугольника).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = 30 + 40 + 50 = 120$ см.

Ответ: 120 см.

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков $(a > b)$.

192. Постройте отрезок x, если $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, где a и b — длины данных отрезков ($a > b$).

Для построения отрезка $x$, заданного формулой $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, преобразуем это выражение. Возведя обе части в квадрат, получим $x^2 = 9a^2 - b^2$. Перенесем $b^2$ в левую часть: $x^2 + b^2 = 9a^2$. Это уравнение можно записать в виде $x^2 + b^2 = (3a)^2$.

Данное равенство является представлением теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна $3a$, а катеты равны $x$ и $b$. Таким образом, задача сводится к построению такого треугольника, и один из его катетов будет искомым отрезком $x$. Для того чтобы построение было возможно, необходимо выполнение условия $3a > b$.

Алгоритм построения (с помощью циркуля и линейки без делений):
1. Построение отрезка длиной $3a$. На произвольной прямой от некоторой точки откладываем циркулем три раза подряд отрезок, равный по длине данному отрезку $a$. Полученный отрезок будет иметь длину $3a$.
2. Построение прямого угла. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $C$. Восстанавливаем в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой. Мы получили две перпендикулярные прямые, образующие прямой угол с вершиной в точке $C$.
3. Построение треугольника. На одной из сторон прямого угла от вершины $C$ откладываем отрезок $CB$, равный по длине данному отрезку $b$. Затем из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным построенной ранее длине $3a$. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла будет точкой $A$.
4. Искомый отрезок. Соединяем точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ и является искомым отрезком $x$.

В построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) гипотенуза $AB$ по построению равна $3a$, а катет $BC$ равен $b$. Согласно теореме Пифагора, второй катет $AC$ будет иметь длину, равную $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3a)^2 - b^2} = \sqrt{9a^2 - b^2}$. Следовательно, отрезок $AC$ и есть искомый отрезок $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ является катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $3a$, а другой катет равен $b$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

1) косинус которого равен $\frac{2}{5}$;

Для построения угла, косинус которого равен $\frac{2}{5}$, воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и гипотенузой, равной 5 (или в пропорциональных им единицах). Искомым будет угол, прилежащий к катету длиной 2.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку A.

2. От точки A отложим отрезок AB, равный 2 условным единицам (например, 2 см).

3. В точке A построим прямую, перпендикулярную отрезку AB.

4. Из точки B как из центра, с помощью циркуля, проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц так, чтобы она пересекла перпендикулярную прямую. Точку пересечения обозначим C.

5. Соединим точки B и C.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC, где $\angle A = 90^\circ$, катет $AB = 2$ и гипотенуза $BC = 5$. Угол ABC — это искомый угол, так как его косинус по определению равен:
$\cos(\angle ABC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{5}$.

Ответ: Построенный угол ABC является искомым.

2) тангенс которого равен $\frac{4}{7}$.

Для построения угла, тангенс которого равен $\frac{4}{7}$, воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами, равными 4 и 7 (или в пропорциональных им единицах). Искомым будет угол, противолежащий катету длиной 4.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол и обозначим его вершину C.

2. На одной стороне прямого угла отложим от вершины C отрезок BC, равный 7 условным единицам.

3. На другой стороне прямого угла отложим от вершины C отрезок AC, равный 4 условным единицам.

4. Соединим точки A и B.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC, где $\angle C = 90^\circ$, катет $BC = 7$ и катет $AC = 4$. Угол ABC — это искомый угол, так как для него катет AC является противолежащим, а катет BC — прилежащим. Его тангенс по определению равен:
$\tan(\angle ABC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{7}$.

Ответ: Построенный угол ABC является искомым.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 7 см и 25 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего большему катету;

2) косинус угла, противолежащего большему катету;

3) тангенс угла, прилежащего к меньшему катету.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 7 см и 25 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего большему катету;

2) косинус угла, противолежащего большему катету;

3) тангенс угла, прилежащего к меньшему катету.

Для решения задачи сначала найдем длину второго катета прямоугольного треугольника. Пусть известный катет $a = 7$ см, гипотенуза $c = 25$ см, а неизвестный катет — $b$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения:

$7^2 + b^2 = 25^2$

$49 + b^2 = 625$

$b^2 = 625 - 49$

$b^2 = 576$

$b = \sqrt{576} = 24$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 7 см и 24 см.

• Меньший катет равен 7 см.
• Больший катет равен 24 см.

Пусть $\alpha$ — угол, противолежащий большему катету (24 см), а $\beta$ — угол, противолежащий меньшему катету (7 см).

1) синус угла, противолежащего большему катету

Нам нужно найти синус угла $\alpha$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{24}{25}$

Ответ: $\frac{24}{25}$.

2) косинус угла, противолежащего большему катету

Нам нужно найти косинус угла $\alpha$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащим катетом к углу $\alpha$ является меньший катет.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{7}{25}$

Ответ: $\frac{7}{25}$.

3) тангенс угла, прилежащего к меньшему катету

Меньший катет равен 7 см. Прилежащим к нему острым углом является угол $\alpha$ (противолежащий большему катету). Нам нужно найти тангенс этого угла. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

195. Найдите значение выражения:

1) $tan^2 60^\circ + sin^2 60^\circ$;

2) $2cos^2 30^\circ - cot 45^\circ$.

195. Найдите значение выражения:

1) $tg^2 60^\circ + sin^2 60^\circ$;

2) $2cos^2 30^\circ - ctg45^\circ$.

1) Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ$, необходимо использовать известные значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$\text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Запись $\text{tg}^2 60^\circ$ означает $(\text{tg} 60^\circ)^2$, а $\sin^2 60^\circ$ означает $(\sin 60^\circ)^2$. Подставим числовые значения в исходное выражение:

$\text{tg}^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

Теперь выполним возведение в квадрат для каждого слагаемого:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

Сложим полученные значения:

$3 + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$

2) Чтобы найти значение выражения $2\cos^2 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ$, нам понадобятся значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{ctg} 45^\circ = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\cos^2 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1$

Сначала вычислим значение первого члена выражения:

$2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

196. Найдите $sin\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $cos\alpha = \frac{2}{3}$.

196. Найти $ \sin\alpha $, $ \operatorname{tg}\alpha $ и $ \operatorname{ctg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано $cosα = 2/3$. Поскольку значение косинуса положительное, угол $α$ может находиться в I или IV координатной четверти. В I четверти все тригонометрические функции ($sinα, tgα, ctgα$) положительны. В IV четверти $sinα, tgα, ctgα$ отрицательны. Поэтому для каждой искомой величины будет два возможных значения.

sinα

Для нахождения $sinα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.

Подставим известное значение $cosα = 2/3$ в формулу:

$sin^2α + (2/3)^2 = 1$

$sin^2α + 4/9 = 1$

$sin^2α = 1 - 4/9$

$sin^2α = 5/9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для синуса:

$sinα = ±\sqrt{5/9} = ±\sqrt{5}/3$

Ответ: $sinα = \sqrt{5}/3$ или $sinα = -\sqrt{5}/3$.

tgα

Тангенс угла определяется по формуле $tgα = sinα / cosα$. Мы должны рассмотреть два случая, соответствующие двум возможным значениям $sinα$.

1. Если $sinα = \sqrt{5}/3$ (случай для I четверти):

$tgα = (\sqrt{5}/3) / (2/3) = \sqrt{5}/3 \cdot 3/2 = \sqrt{5}/2$

2. Если $sinα = -\sqrt{5}/3$ (случай для IV четверти):

$tgα = (-\sqrt{5}/3) / (2/3) = -\sqrt{5}/3 \cdot 3/2 = -\sqrt{5}/2$

Ответ: $tgα = \sqrt{5}/2$ или $tgα = -\sqrt{5}/2$.

ctgα

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $ctgα = 1/tgα$. Также можно использовать формулу $ctgα = cosα / sinα$. Воспользуемся найденными значениями тангенса.

1. Если $tgα = \sqrt{5}/2$ (случай для I четверти):

$ctgα = 1 / (\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $ctgα = (2\sqrt{5}) / (\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}/5$.

2. Если $tgα = -\sqrt{5}/2$ (случай для IV четверти):

$ctgα = 1 / (-\sqrt{5}/2) = -2/\sqrt{5} = -(2\sqrt{5}) / (\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}/5$.

Ответ: $ctgα = 2\sqrt{5}/5$ или $ctgα = -2\sqrt{5}/5$.

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\text{tg}\alpha = 4$.

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \text{ctg} \alpha $, если $ \text{tg} \alpha = 4 $.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано, что $tg\alpha = 4$.

Поскольку значение тангенса положительное ($tg\alpha > 0$), угол $\alpha$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. Это означает, что $sin\alpha$ и $cos\alpha$ будут иметь одинаковые знаки: оба положительные (I четверть) или оба отрицательные (III четверть).

ctgα

Котангенс и тангенс — взаимно обратные функции. Их связь выражается формулой: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.
Подставим известное значение $tg\alpha = 4$ в эту формулу:
$ctg\alpha = \frac{1}{4}$
Ответ: $ctg\alpha = \frac{1}{4}$.

cosα

Для нахождения косинуса используем тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим $tg\alpha = 4$ в это тождество:
$1 + 4^2 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$1 + 16 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$17 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
Отсюда выражаем $cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{17}$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $cos\alpha$, соответствующих I и III четвертям:
$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{17}$:
$cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}$
Ответ: $cos\alpha = \frac{\sqrt{17}}{17}$ или $cos\alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.

sinα

Для нахождения синуса воспользуемся определением тангенса: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.
Выразим отсюда синус: $sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha$.
Теперь рассмотрим два возможных случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: Угол $\alpha$ в I четверти.
В этой четверти $cos\alpha > 0$, следовательно, $cos\alpha = \frac{\sqrt{17}}{17}$.
$sin\alpha = 4 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

Случай 2: Угол $\alpha$ в III четверти.
В этой четверти $cos\alpha < 0$, следовательно, $cos\alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.
$sin\alpha = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$

Таким образом, синус также имеет два возможных значения.
Ответ: $sin\alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ или $sin\alpha = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, — 15 см. Найдите косинус угла при основании треугольника.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведённая к основанию, – 15 см. Найдите косинус угла при основании треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведем высоту BH к основанию AC. По условию задачи, длина основания $AC = 16$ см, а длина высоты $BH = 15$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание пополам. Таким образом, точка H является серединой отрезка AC.

Найдем длину отрезка AH:

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота BH делит треугольник ABC на два равных прямоугольных треугольника: ABH и CBH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$).

Нам нужно найти косинус угла при основании, например, угла A. По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

Мы знаем длину катета $AH = 8$ см. Длину гипотенузы AB (которая также является боковой стороной равнобедренного треугольника) можно найти по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения:

$AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$AB = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь мы можем вычислить косинус угла A:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{8}{17}$.

Ответ: $\frac{8}{17}$.

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 10$ см, $BC = 7$ см, $AD = 17$ см. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 10$ см, $BC = 7$ см, $AD = 17$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 10$ см, меньшее основание $BC = 7$ см и большее основание $AD = 17$ см.

1. Для нахождения углов трапеции опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC || AD$), а высоты перпендикулярны основанию ($BH ⊥ AD$ и $CK ⊥ AD$), то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Из этого следует, что $HK = BC = 7$ см.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABH$ и $ΔDCK$. В равнобокой трапеции боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны высоты, проведенные к одному основанию ($BH = CK$). Следовательно, треугольники $ΔABH$ и $ΔDCK$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие катеты также равны: $AH = DK$.

3. Длина большего основания $AD$ представляет собой сумму длин отрезков $AH, HK$ и $DK$:
$AD = AH + HK + DK$.

Так как $AH = DK$, мы можем переписать это выражение следующим образом:
$AD = AH + HK + AH = 2 \cdot AH + HK$.

Подставим известные значения в это уравнение:
$17 = 2 \cdot AH + 7$.

Теперь решим уравнение и найдем длину $AH$:
$2 \cdot AH = 17 - 7$
$2 \cdot AH = 10$
$AH = 5$ см.

4. В прямоугольном треугольнике $ΔABH$ нам теперь известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AH = 5$ см, прилежащий к углу $A$. Используя определение косинуса, найдем угол $A$:

$\cos(∠A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60°$. Таким образом, $∠A = 60°$.

5. Теперь найдем остальные углы трапеции, используя свойства равнобокой трапеции:

• Углы при каждом основании равны. Следовательно, $∠D = ∠A = 60°$.
• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Следовательно, $∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.
• Так как $∠C = ∠B$, то $∠C = 120°$.

Таким образом, углы трапеции равны $60°, 120°, 120°$ и $60°$.

Ответ: $60°, 120°, 120°, 60°$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 6$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 4$ см, $\sin B = \frac{1}{3}$;

3) $AB = 2$ см, $ctg A = 3$;

4) $AC = 5$ см, $\cos A = \frac{3}{7}$;

5) $BC = 3$ см, $\cos A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 10$ см, $tg B = 2$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре-угольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 6$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 4$ см, $\sin B = \frac{1}{3}$;

3) $AB = 2$ см, $ctgA = 3$;

4) $AC = 5$ см, $\cos A = \frac{3}{7}$;

5) $BC = 3$ см, $\cos A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 10$ см, $tgB = 2$.

1) AC = 6 см, sinB = 1/4;

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, синус угла B определяется как отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $sinB = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{4} = \frac{6}{AB}$

Отсюда выразим и найдем гипотенузу AB:

$AB = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Теперь найдем неизвестный катет BC, используя теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = 24^2 - 6^2 = 576 - 36 = 540$

$BC = \sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15}$ см.

Ответ: $AB = 24$ см, $BC = 6\sqrt{15}$ см.

2) BC = 4 см, sinB = 1/3;

Из основного тригонометрического тождества $sin^2B + cos^2B = 1$ найдем косинус угла B:

$cos^2B = 1 - sin^2B = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Поскольку B - острый угол прямоугольного треугольника, $cosB$ положителен: $cosB = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

В прямоугольном треугольнике косинус угла B - это отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB: $cosB = \frac{BC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $AB = \frac{4 \cdot 3}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Катет AC можно найти из определения синуса угла B: $sinB = \frac{AC}{AB}$.

$AC = AB \cdot sinB = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $AB = 3\sqrt{2}$ см, $AC = \sqrt{2}$ см.

3) AB = 2 см, ctgA = 3;

Котангенс угла A в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету BC: $ctgA = \frac{AC}{BC}$.

Из условия $ctgA = 3$, получаем соотношение между катетами: $AC = 3 \cdot BC$.

Применим теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$ и подставим в нее выражение для AC:

$(3 \cdot BC)^2 + BC^2 = 2^2$

$9BC^2 + BC^2 = 4$

$10BC^2 = 4$

$BC^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$BC = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ см.

Теперь найдем катет AC: $AC = 3 \cdot BC = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$ см.

Ответ: $AC = \frac{3\sqrt{10}}{5}$ см, $BC = \frac{\sqrt{10}}{5}$ см.

4) AC = 5 см, cosA = 3/7;

Косинус угла A в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $cosA = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{3}{7} = \frac{5}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $3 \cdot AB = 5 \cdot 7 \Rightarrow AB = \frac{35}{3}$ см.

Найдем катет BC по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (\frac{35}{3})^2 - 5^2 = \frac{1225}{9} - 25 = \frac{1225 - 225}{9} = \frac{1000}{9}$

$BC = \sqrt{\frac{1000}{9}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 10}}{3} = \frac{10\sqrt{10}}{3}$ см.

Ответ: $AB = \frac{35}{3}$ см, $BC = \frac{10\sqrt{10}}{3}$ см.

5) BC = 3 см, cosA = 3/5;

Из основного тригонометрического тождества $sin^2A + cos^2A = 1$ найдем синус угла A:

$sin^2A = 1 - cos^2A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Поскольку A - острый угол, $sinA = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Синус угла A - это отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $sinA = \frac{BC}{AB}$.

Подставим известные значения: $\frac{4}{5} = \frac{3}{AB}$.

Найдем гипотенузу AB: $4 \cdot AB = 3 \cdot 5 \Rightarrow AB = \frac{15}{4} = 3,75$ см.

Найдем катет AC из определения косинуса угла A: $cosA = \frac{AC}{AB}$.

$AC = AB \cdot cosA = \frac{15}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Ответ: $AC = 2,25$ см, $AB = 3,75$ см.

6) AB = 10 см, tgB = 2.

Тангенс угла B в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC: $tgB = \frac{AC}{BC}$.

Из условия $tgB = 2$, получаем соотношение между катетами: $AC = 2 \cdot BC$.

Применим теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$ и подставим в нее выражение для AC:

$(2 \cdot BC)^2 + BC^2 = 10^2$

$4BC^2 + BC^2 = 100$

$5BC^2 = 100$

$BC^2 = \frac{100}{5} = 20$

$BC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем катет AC: $AC = 2 \cdot BC = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $AC = 4\sqrt{5}$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.