Страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 104, если известно, что $NK \| FA$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{MK}{MN}$;

2) $\frac{MF}{MN}$.

Рис. 104

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 104, если известно, что $NK \parallel FA$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{MK}{MN}$;

2) $\frac{MF}{MN}$.

Рис. 104

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle MFA$, изображенные на рисунке. По условию задачи дано, что отрезок $NK$ параллелен отрезку $FA$, то есть $NK \parallel FA$.

Докажем подобие этих треугольников.

• Угол $\angle M$ (или $\angle NMK$) является общим для обоих треугольников: $\angle NMK = \angle FMA$.
• Так как $NK \parallel FA$, то углы $\angle MNK$ и $\angle MFA$ являются соответственными при параллельных прямых $NK$ и $FA$ и секущей $MF$. Следовательно, эти углы равны: $\angle MNK = \angle MFA$.

Таким образом, по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам), треугольник $\triangle MNK$ подобен треугольнику $\triangle MFA$. Записывается это как $\triangle MNK \sim \triangle MFA$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответственными сторонами являются те, которые лежат напротив равных углов. Получаем следующую пропорцию:
$\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA} = \frac{NK}{FA}$

Используя это основное соотношение, запишем требуемые пропорции.

1) Необходимо записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{MK}{MN}$.
Воспользуемся равенством двух первых отношений из основной пропорции: $\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA}$.
Применим свойство пропорции (можно поменять местами средние члены пропорции): $\frac{MN}{MK} = \frac{MF}{MA}$.
Теперь возьмем обратные отношения (перевернем дроби) в обеих частях равенства:
$\frac{MK}{MN} = \frac{MA}{MF}$.
Ответ: $\frac{MK}{MN} = \frac{MA}{MF}$.

2) Необходимо записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{MF}{MN}$.
Возьмем основную пропорцию, полученную из подобия треугольников: $\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA} = \frac{NK}{FA}$.
Чтобы получить отношение $\frac{MF}{MN}$, нужно взять обратные отношения для всех частей этой пропорции (перевернуть каждую дробь):
$\frac{MF}{MN} = \frac{MA}{MK} = \frac{FA}{NK}$.
Ответ: $\frac{MF}{MN} = \frac{MA}{MK} = \frac{FA}{NK}$.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Большее основание $AD$ трапеции равно $26$ см, $MC = 9$ см, $CD = 4$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Большее основание $AD$ трапеции равно $26$ см, $MC = 9$ см, $CD = 4$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, образуя два треугольника: $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$ подобны. Это следует из того, что угол $\angle M$ у них общий, а углы $\angle MCB$ и $\angle MDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MD$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{MC}{MD} = \frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи известны следующие величины:

$AD = 26$ см (большее основание),
$MC = 9$ см,
$CD = 4$ см.

Точка $M$ лежит на продолжении стороны $CD$, поэтому длина стороны $MD$ большего треугольника равна сумме длин отрезков $MC$ и $CD$:$$ MD = MC + CD = 9 \text{ см} + 4 \text{ см} = 13 \text{ см} $$

Теперь, используя соотношение сторон подобных треугольников, мы можем найти длину меньшего основания $BC$:$$ \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD} $$

Подставим известные значения в формулу:$$ \frac{9}{13} = \frac{BC}{26} $$

Выразим $BC$:$$ BC = \frac{9 \times 26}{13} $$

Выполним вычисления:$$ BC = 9 \times 2 = 18 \text{ см} $$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 18 см.

Ответ: 18 см.

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $MNCP$ (рис. 105). Найдите сторону $MP$ параллелограмма, если $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, $PC = 3$ см.

Рис. 105

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $MNCP$ (рис. 105). Найдите сторону $MP$ параллелограмма, если $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, $PC = 3$ см.

Рис. 105

Поскольку по условию четырёхугольник MNCP является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона MP параллельна стороне NC.

Так как точка N лежит на стороне AC треугольника ABC, то отрезок NC является частью прямой AC. Следовательно, прямая MP параллельна прямой AC (MP || AC).

Рассмотрим треугольники MBP и ABC. Угол B у них общий. Поскольку MP || AC, углы BPM и BCA равны как соответственные углы при параллельных прямых MP и AC и секущей BC. Таким образом, треугольник MBP подобен треугольнику ABC по двум углам (ΔMBP ~ ΔABC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{MP}{AC} = \frac{BP}{BC} $

По условию задачи известны длины следующих сторон: $ AC = 10 $ см, $ BC = 12 $ см, $ PC = 3 $ см.

Точка P лежит на стороне BC, поэтому длину отрезка BP можно найти как разность длин BC и PC:

$ BP = BC - PC = 12 - 3 = 9 $ см.

Теперь подставим известные значения в полученную пропорцию:

$ \frac{MP}{10} = \frac{9}{12} $

Выразим MP из этого уравнения:

$ MP = 10 \cdot \frac{9}{12} = 10 \cdot \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 $ см.

Ответ: 7,5 см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEF$ так, что угол $B$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $AC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 12$ см, $BC = 6$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEF$ так, что угол $B$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $AC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 12$ см, $BC = 6$ см.

Пусть сторона ромба BDEF равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, следовательно, $BD = DE = EF = FB = x$.

Вершины ромба лежат на сторонах треугольника $ABC$: точка $D$ на стороне $AB$, точка $F$ на стороне $BC$ и точка $E$ на стороне $AC$. Так как $BDEF$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $EF$ параллельна стороне $BD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, то прямая, содержащая отрезок $BD$, совпадает с прямой $AB$. Следовательно, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $EFC$ и $ABC$. Поскольку $EF \parallel AB$, эти треугольники подобны по двум углам: 1. Угол $C$ у них общий.
2. Угол $CEF$ равен углу $CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, $ \triangle EFC \sim \triangle ABC $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{EF}{AB} = \frac{FC}{BC} $

Выразим длины отрезков в этой пропорции. По условию задачи $AB = 12$ см и $BC = 6$ см. Сторона ромба $EF = x$. Отрезок $FC$ можно выразить как разность длин отрезков $BC$ и $FB$. Так как $FB$ является стороной ромба, $FB = x$. Следовательно, $FC = BC - FB = 6 - x$.

Подставим все известные и выраженные значения в уравнение пропорции: $ \frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ 6 \cdot x = 12 \cdot (6 - x) $ $ 6x = 72 - 12x $

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую: $ 6x + 12x = 72 $ $ 18x = 72 $

Найдем $x$: $ x = \frac{72}{18} $ $ x = 4 $

Таким образом, длина стороны ромба составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

140. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, — 7 см. В треугольник вписан прямоугольник, меньшая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $4 : 7$.

140. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, — 7 см. В треугольник вписан прямоугольник, меньшая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4 : 7.

Обозначим сторону треугольника, заданную в условии, как основание $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h$. По условию, $a = 10$ см и $h = 7$ см.

Пусть в этот треугольник вписан прямоугольник. Обозначим его стороны как $x$ и $y$. По условию, одна из сторон прямоугольника лежит на основании треугольника. Пусть это будет сторона $x$. Тогда другая сторона, $y$, будет высотой прямоугольника.

В задаче сказано, что меньшая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Это означает, что сторона, лежащая на основании (сторона $x$), является меньшей. Также дано, что стороны относятся как $4:7$. Следовательно, мы можем записать отношение меньшей стороны к большей:

$\frac{x}{y} = \frac{4}{7}$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

$x = \frac{4}{7}y$

Прямоугольник, вписанный таким образом, отсекает от основного треугольника меньший треугольник, подобный исходному. Основанием этого меньшего треугольника является верхняя сторона прямоугольника (равная $x$), а его высота равна разности высоты исходного треугольника и высоты прямоугольника ($h-y$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот:

$\frac{x}{a} = \frac{h - y}{h}$

Подставим известные значения $a = 10$ и $h = 7$ в эту пропорцию:

$\frac{x}{10} = \frac{7 - y}{7}$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $x = \frac{4}{7}y$

2. $\frac{x}{10} = \frac{7 - y}{7}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{\frac{4}{7}y}{10} = \frac{7 - y}{7}$

$\frac{4y}{70} = \frac{7 - y}{7}$

Для решения уравнения умножим обе его части на 70:

$4y = 10 \cdot (7 - y)$

$4y = 70 - 10y$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону:

$4y + 10y = 70$

$14y = 70$

$y = \frac{70}{14} = 5$ см.

Теперь найдем вторую сторону $x$, используя первое уравнение:

$x = \frac{4}{7}y = \frac{4}{7} \cdot 5 = \frac{20}{7}$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны $\frac{20}{7}$ см и $5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{20}{7}$ см и 5 см.

141. На рисунке 106 $\angle ABC = \angle ADC$. Подобны ли треугольники ABK и CDK? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 106

141. На рисунке 106 $\angle ABC = \angle ADC$. Подобны ли треугольники $ABK$ и $CDK$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 106

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CDK$.

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся первым признаком подобия (по двум углам), который гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1. По условию задачи нам дано, что $∠ABC = ∠ADC$. Так как точка $K$ лежит на отрезке $BC$, а точка $A$ — на продолжении луча $AK$, то угол $∠ABC$ — это тот же угол, что и $∠ABK$. Аналогично, угол $∠ADC$ — это тот же угол, что и $∠CDK$. Таким образом, первое равенство углов: $∠ABK = ∠CDK$.

2. Углы $∠AKB$ и $∠CKD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых $AD$ и $BC$. По свойству вертикальных углов, они равны. Таким образом, второе равенство углов: $∠AKB = ∠CKD$.

Поскольку два угла треугольника $ABK$ ( $∠ABK$ и $∠AKB$ ) соответственно равны двум углам треугольника $CDK$ ( $∠CDK$ и $∠CKD$ ), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия.

Подобны ли треугольники ABK и CDK?

Да, треугольники $ABK$ и $CDK$ подобны ($ΔABK \sim ΔCDK$).

Пары соответственных сторон:

Соответственные стороны в подобных треугольниках лежат против равных углов.

• Сторона $AK$ (лежит против угла $∠ABK$) соответствует стороне $CK$ (лежит против равного ему угла $∠CDK$).
• Сторона $BK$ (лежит против угла $∠BAK$) соответствует стороне $DK$ (лежит против равного ему угла $∠DCK$).
• Сторона $AB$ (лежит против угла $∠AKB$) соответствует стороне $CD$ (лежит против равного ему угла $∠CKD$).

Ответ: Да, треугольники $ABK$ и $CDK$ подобны. Пары соответственных сторон: $AB$ и $CD$; $AK$ и $CK$; $BK$ и $DK$.