Номер 140, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, — 7 см. В треугольник вписан прямоугольник, меньшая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $4 : 7$.

140. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, — 7 см. В треугольник вписан прямоугольник, меньшая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4 : 7.

Обозначим сторону треугольника, заданную в условии, как основание $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h$. По условию, $a = 10$ см и $h = 7$ см.

Пусть в этот треугольник вписан прямоугольник. Обозначим его стороны как $x$ и $y$. По условию, одна из сторон прямоугольника лежит на основании треугольника. Пусть это будет сторона $x$. Тогда другая сторона, $y$, будет высотой прямоугольника.

В задаче сказано, что меньшая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Это означает, что сторона, лежащая на основании (сторона $x$), является меньшей. Также дано, что стороны относятся как $4:7$. Следовательно, мы можем записать отношение меньшей стороны к большей:

$\frac{x}{y} = \frac{4}{7}$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

$x = \frac{4}{7}y$

Прямоугольник, вписанный таким образом, отсекает от основного треугольника меньший треугольник, подобный исходному. Основанием этого меньшего треугольника является верхняя сторона прямоугольника (равная $x$), а его высота равна разности высоты исходного треугольника и высоты прямоугольника ($h-y$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот:

$\frac{x}{a} = \frac{h - y}{h}$

Подставим известные значения $a = 10$ и $h = 7$ в эту пропорцию:

$\frac{x}{10} = \frac{7 - y}{7}$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $x = \frac{4}{7}y$

2. $\frac{x}{10} = \frac{7 - y}{7}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{\frac{4}{7}y}{10} = \frac{7 - y}{7}$

$\frac{4y}{70} = \frac{7 - y}{7}$

Для решения уравнения умножим обе его части на 70:

$4y = 10 \cdot (7 - y)$

$4y = 70 - 10y$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону:

$4y + 10y = 70$

$14y = 70$

$y = \frac{70}{14} = 5$ см.

Теперь найдем вторую сторону $x$, используя первое уравнение:

$x = \frac{4}{7}y = \frac{4}{7} \cdot 5 = \frac{20}{7}$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны $\frac{20}{7}$ см и $5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{20}{7}$ см и 5 см.