Номер 143, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BK$ и $CF$ (рис. 108). Докажите подобие треугольников $CBK$ и $DCF$.

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BK$ и $CF$ (рис. 108). Докажите подобие треугольников $CBK$ и $DCF$.

Рис. 108

Для доказательства подобия треугольников $CBK$ и $DCF$ воспользуемся первым признаком подобия, то есть докажем, что у этих треугольников есть две пары равных углов.

1. Рассмотрим первую пару углов. По условию $BK$ и $CF$ – высоты параллелограмма. Высота $BK$ проведена к стороне $CD$, следовательно, $BK \perp CD$ и угол $\angle BKC = 90^\circ$. Высота $CF$ проведена к продолжению стороны $AD$ (к прямой $AF$), следовательно, $CF \perp AF$ и угол $\angle CFD = 90^\circ$. Таким образом, мы нашли первую пару равных углов: $\angle BKC = \angle CFD = 90^\circ$.

2. Рассмотрим вторую пару углов. Используем свойства углов параллелограмма $ABCD$. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD = \angle BAD$. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$. Углы $\angle ADC$ и $\angle FDC$ являются смежными, так как точки $A$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADC + \angle FDC = 180^\circ$. Сравнивая два последних равенства, получаем, что $\angle BAD = \angle FDC$.

Так как $\angle BCD = \angle BAD$ и $\angle BAD = \angle FDC$, то по свойству транзитивности $\angle BCD = \angle FDC$. Угол $\angle BCD$ – это тот же угол, что и $\angle KCB$ в треугольнике $CBK$. Следовательно, мы нашли вторую пару равных углов: $\angle KCB = \angle FDC$.

Поскольку два угла треугольника $CBK$ ($\angle BKC$ и $\angle KCB$) соответственно равны двум углам треугольника $DCF$ ($\angle CFD$ и $\angle FDC$), то треугольники $CBK$ и $DCF$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $CBK$ и $DCF$ подобны по первому признаку подобия, так как у них есть две пары равных углов: $\angle BKC = \angle CFD = 90^\circ$ (как углы при высотах) и $\angle KCB = \angle FDC$ (как следует из свойств углов параллелограмма и смежных углов).