Номер 146, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Основания трапеции равны 6 см и 14 см, а одна из диагоналей — 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

146. Основания трапеции равны 6 см и 14 см, а одна из диагоналей — 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

Пусть дана трапеция, основания которой равны 6 см и 14 см. Обозначим трапецию как ABCD, где BC и AD — основания, $BC = 6$ см и $AD = 14$ см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, одна из диагоналей равна 20 см. Пусть это будет диагональ AC, то есть $AC = 20$ см. Необходимо найти длины отрезков AO и OC, на которые точка O делит диагональ AC.

Рассмотрим два треугольника, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Так как BC и AD являются основаниями трапеции, они параллельны ($BC \parallel AD$).

• Угол $\angle OCB$ и угол $\angle OAD$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
• Угол $\angle OBC$ и угол $\angle ODA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований:
$k = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

Отношение других соответственных сторон также равно коэффициенту подобия:
$\frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{7}$

Это означает, что точка O делит диагональ AC в отношении 3 к 7. Мы можем представить длины отрезков OC и OA как $3x$ и $7x$ соответственно, где $x$ — некоторая общая мера длины.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали AC:
$OC + OA = AC$
$3x + 7x = 20$
$10x = 20$
$x = \frac{20}{10} = 2$ см

Теперь мы можем найти длины искомых отрезков:
Длина первого отрезка: $OC = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Длина второго отрезка: $OA = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 6 см и 14 см.