Номер 151, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Точка $P$ удалена на 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку $P$ проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка $P$ делит эту хорду.

151. Точка P удалена на 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку P проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка P делит эту хорду.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — ее радиус, $AB$ — данная хорда, а $P$ — точка на этой хорде.

По условию задачи имеем:

• Радиус окружности $R = 15$ см.
• Расстояние от центра до точки $P$: $OP = 12$ см.
• Длина хорды $AB = 18$ см.

Для решения задачи найдем расстояние от центра окружности до хорды $AB$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$.

Свойства перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде:

1. Он делит хорду пополам. Следовательно, $AM = MB = \frac{AB}{2}$.
2. Треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным, где $OA$ — гипотенуза (равна радиусу), а $OM$ и $AM$ — катеты.

1. Найдем половину длины хорды:

$AM = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Выразим отсюда расстояние $OM$ от центра до хорды:

$OM^2 = OA^2 - AM^2$

$OM^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$OM = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Сравним полученное расстояние $OM$ с расстоянием $OP$, данным в условии. Мы видим, что $OM = 12$ см и $OP = 12$ см. Это означает, что точка $P$ совпадает с точкой $M$ — основанием перпендикуляра, опущенного из центра на хорду.

Поскольку перпендикуляр из центра делит хорду пополам, точка $P$ является серединой хорды $AB$.

4. Найдем отрезки, на которые точка $P$ делит хорду:

$AP = PB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: точка $P$ делит хорду на два отрезка длиной 9 см и 9 см.