Номер 157, страница 88 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 111, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 111

Для $\triangle ABC$:

$AB = 6$

$BC = 7$

$AC = 8$

Для $\triangle A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 18$

$B_1C_1 = 21$

$A_1C_1 = 24$

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 111, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 111

$AB=6$

$BC=7$

$AC=8$

$A_1B_1=18$

$B_1C_1=21$

$A_1C_1=24$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трем сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого.

Из рисунка известны длины сторон обоих треугольников:
Для $ \triangle ABC $: $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 8$ см.
Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $A_1B_1 = 18$ см, $B_1C_1 = 21$ см, $A_1C_1 = 24$ см.

Теперь проверим пропорциональность соответствующих сторон. Для этого найдем отношения длин сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Соответствующими будут стороны, занимающие одинаковое положение относительно других сторон (наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей).

1. Найдем отношение длин наименьших сторон:
$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{18}{6} = 3 $

2. Найдем отношение длин средних сторон:
$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{21}{7} = 3 $

3. Найдем отношение длин наибольших сторон:
$ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{24}{8} = 3 $

Так как все три отношения равны одному и тому же числу, мы можем записать:
$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3 $

Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны сторонам треугольника $ABC$ с коэффициентом подобия $k=3$. Следовательно, по третьему признаку подобия, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответствующие стороны пропорциональны: $ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3 $.