Номер 154, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 110, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 110

$AB = 21$, $BC = 15$, $\angle B = 41^\circ$

$A_1B_1 = 14$, $B_1C_1 = 10$, $\angle B_1 = 41^\circ$

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, изображённые на рисунке 110, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 110

В треугольнике $ABC$: $\angle B = 41^\circ$, $AB = 21$, $BC = 15$.

В треугольнике $A_1 B_1 C_1$: $\angle B_1 = 41^\circ$, $A_1 B_1 = 14$, $B_1 C_1 = 10$.

Для доказательства подобия треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим данные треугольники:

В треугольнике $ ABC $:

• длина стороны $ AB = 21 $ см;
• длина стороны $ BC = 15 $ см;
• угол между этими сторонами $ \angle B = 41^\circ $.

В треугольнике $ A_1B_1C_1 $:

• длина стороны $ A_1B_1 = 14 $ см;
• длина стороны $ B_1C_1 = 10 $ см;
• угол между этими сторонами $ \angle B_1 = 41^\circ $.

Проверим выполнение условий второго признака подобия:

1. Сравним углы. Углы $ \angle B $ и $ \angle B_1 $, заключенные между известными сторонами, равны: $ \angle B = \angle B_1 = 41^\circ $.

2. Проверим пропорциональность сторон. Найдем отношение длин соответствующих сторон, образующих эти углы. Отношение сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{21}{14} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2} $. Отношение сторон $ BC $ и $ B_1C_1 $: $ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{15}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2} $.

Поскольку отношения сторон равны ($ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $), то стороны, прилежащие к равным углам, пропорциональны. Коэффициент подобия $ k = \frac{3}{2} $.

Так как оба условия второго признака подобия треугольников выполняются, то треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $).

Ответ: Треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ подобны, так как две стороны одного треугольника ($ AB $ и $ BC $) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($ A_1B_1 $ и $ B_1C_1 $) с коэффициентом $ \frac{3}{2} $, а углы между этими сторонами ($ \angle B $ и $ \angle B_1 $) равны. Это соответствует второму признаку подобия треугольников.