Страница 87 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Через точку M проведены к окружности касательная MK (K — точка касания) и секущая ME, пересекающая окружность в точках E и F (рис. 109). Найдите отрезок MF, если $MK = 10 \text{ см}$, $ME = 20 \text{ см}$.

Рис. 109

152. Через точку $M$ проведены к окружности касательная $MK$ ($K$ — точка касания) и секущая $ME$, пересекающая окружность в точках $E$ и $F$ (рис. 109). Найдите отрезок $MF$, если $MK = 10$ см, $ME = 20$ см.

Рис. 109

Для решения данной задачи применяется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной (от точки до точки касания) равен произведению длины всего отрезка секущей (от точки до дальней точки пересечения) на длину его внешней части (от точки до ближней точки пересечения).

Запишем эту теорему в виде формулы для нашей задачи:

$MK^2 = ME \cdot MF$

Где:
$MK$ — длина отрезка касательной.
$ME$ — длина всего отрезка секущей.
$MF$ — длина внешней части секущей, которую нам нужно найти.

По условию задачи нам известно:
$MK = 10$ см
$ME = 20$ см

Подставим эти значения в формулу:

$10^2 = 20 \cdot MF$

Выполним вычисления:

$100 = 20 \cdot MF$

Теперь выразим $MF$:

$MF = \frac{100}{20}$

$MF = 5$ см

Ответ: 5 см.

153. Через точку $F$ проведены к окружности касательная $FA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $F$ и $C$). Найдите отрезок $FB$, если $AF = 24$ см и $FB : BC = 9 : 7$.

153. Через точку $F$ проведены к окружности касательная $FA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $F$ и $C$). Найдите отрезок $FB$, если $AF = 24$ см и $FB : BC = 9 : 7$.

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, которые проведены к окружности из одной точки. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть.

В нашем случае формула будет выглядеть так:

$AF^2 = FC \cdot FB$

По условию задачи нам даны следующие значения:

Длина касательной $AF = 24$ см.

Соотношение отрезков секущей $FB : BC = 9 : 7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда мы можем выразить длины отрезков $FB$ и $BC$ через $x$:

$FB = 9x$

$BC = 7x$

Длина всей секущей $FC$ равна сумме длин её частей $FB$ и $BC$:

$FC = FB + BC = 9x + 7x = 16x$

Теперь подставим полученные выражения в основную формулу теоремы:

$AF^2 = FC \cdot FB$

$24^2 = (16x) \cdot (9x)$

Выполним вычисления и решим получившееся уравнение:

$576 = 144x^2$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{576}{144}$

$x^2 = 4$

Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длину искомого отрезка $FB$:

$FB = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 110, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 110

$AB = 21$, $BC = 15$, $\angle B = 41^\circ$

$A_1B_1 = 14$, $B_1C_1 = 10$, $\angle B_1 = 41^\circ$

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, изображённые на рисунке 110, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 110

В треугольнике $ABC$: $\angle B = 41^\circ$, $AB = 21$, $BC = 15$.

В треугольнике $A_1 B_1 C_1$: $\angle B_1 = 41^\circ$, $A_1 B_1 = 14$, $B_1 C_1 = 10$.

Для доказательства подобия треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим данные треугольники:

В треугольнике $ ABC $:

• длина стороны $ AB = 21 $ см;
• длина стороны $ BC = 15 $ см;
• угол между этими сторонами $ \angle B = 41^\circ $.

В треугольнике $ A_1B_1C_1 $:

• длина стороны $ A_1B_1 = 14 $ см;
• длина стороны $ B_1C_1 = 10 $ см;
• угол между этими сторонами $ \angle B_1 = 41^\circ $.

Проверим выполнение условий второго признака подобия:

1. Сравним углы. Углы $ \angle B $ и $ \angle B_1 $, заключенные между известными сторонами, равны: $ \angle B = \angle B_1 = 41^\circ $.

2. Проверим пропорциональность сторон. Найдем отношение длин соответствующих сторон, образующих эти углы. Отношение сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{21}{14} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2} $. Отношение сторон $ BC $ и $ B_1C_1 $: $ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{15}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2} $.

Поскольку отношения сторон равны ($ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $), то стороны, прилежащие к равным углам, пропорциональны. Коэффициент подобия $ k = \frac{3}{2} $.

Так как оба условия второго признака подобия треугольников выполняются, то треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $).

Ответ: Треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ подобны, так как две стороны одного треугольника ($ AB $ и $ BC $) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($ A_1B_1 $ и $ B_1C_1 $) с коэффициентом $ \frac{3}{2} $, а углы между этими сторонами ($ \angle B $ и $ \angle B_1 $) равны. Это соответствует второму признаку подобия треугольников.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $BC : A_1B_1 = AB : B_1C_1 = 0,4, \angle B = \angle B_1$. Найдите стороны $AC$ и $A_1C_1$, если их сумма равна 21 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $BC : A_1B_1 = AB : B_1C_1 = 0,4$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны $AC$ и $A_1C_1$, если их сумма равна 21 см.

Для решения задачи воспользуемся признаком подобия треугольников.

1. Доказательство подобия треугольников

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию задачи, угол $ \angle B $ в первом треугольнике равен углу $ \angle B_1 $ во втором. Также нам даны соотношения сторон, образующих эти углы:

$ \frac{BC}{A_1B_1} = 0,4 $

$ \frac{AB}{B_1C_1} = 0,4 $

Из этих равенств следует, что $ \frac{AB}{B_1C_1} = \frac{BC}{A_1B_1} $.

Сравним $ \triangle ABC $ и $ \triangle C_1B_1A_1 $. У них:

1. $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).

2. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $ \frac{AB}{C_1B_1} = \frac{BC}{A_1B_1} = 0,4 $ (поскольку длина отрезка $ B_1C_1 $ равна длине $ C_1B_1 $).

Таким образом, по второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны), мы можем заключить, что $ \triangle ABC \sim \triangle C_1B_1A_1 $.

2. Нахождение сторон AC и A₁C₁

Из подобия треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle C_1B_1A_1 $ следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $ k $, который в данном случае равен 0,4. Для третьих сторон $ AC $ и $ C_1A_1 $ (которая равна $ A_1C_1 $) также справедливо это соотношение:

$ \frac{AC}{C_1A_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 0,4 $

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую:

$ AC = 0,4 \cdot A_1C_1 $.

По условию задачи, сумма длин этих сторон равна 21 см:

$ AC + A_1C_1 = 21 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $ AC $ из первого уравнения во второе:

$ (0,4 \cdot A_1C_1) + A_1C_1 = 21 $

Объединим слагаемые:

$ 1,4 \cdot A_1C_1 = 21 $

Теперь найдем длину стороны $ A_1C_1 $:

$ A_1C_1 = \frac{21}{1,4} = \frac{210}{14} = 15 $ см.

Зная $ A_1C_1 $, найдем длину стороны $ AC $:

$ AC = 0,4 \cdot A_1C_1 = 0,4 \cdot 15 = 6 $ см.

Проверим: $ AC + A_1C_1 = 6 + 15 = 21 $ см, что соответствует условию.

Ответ: $ AC = 6 $ см, $ A_1C_1 = 15 $ см.

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 24$ см, $BC = 18$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $BK$, равный $16$ см, а на стороне $BC$ — отрезок $BD$, равный $12$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$?

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 24$ см, $BC = 18$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $BK$, равный $16$ см, а на стороне $BC$ — отрезок $BD$, равный $12$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$?

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$, воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KBD$. По условию задачи нам известны длины сторон:

• В треугольнике $ABC$: $AB = 24$ см, $BC = 18$ см.
• В треугольнике $KBD$: $BK = 16$ см, $BD = 12$ см.

1. Проверим равенство углов.
Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle ABC = \angle KBD$.

2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу.
Для подобия треугольников по второму признаку необходимо, чтобы стороны, образующие равные углы, были пропорциональны. Сравним отношения соответствующих сторон:

Отношение стороны $AB$ треугольника $ABC$ к стороне $BK$ треугольника $KBD$:

$\frac{AB}{BK} = \frac{24}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2}$

Отношение стороны $BC$ треугольника $ABC$ к стороне $BD$ треугольника $KBD$:

$\frac{BC}{BD} = \frac{18}{12} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{3}{2}$

Вывод:
Так как отношения сторон равны ($\frac{AB}{BK} = \frac{BC}{BD} = \frac{3}{2}$) и угол между этими сторонами ($\angle B$) является общим, то условия второго признака подобия треугольников выполняются. Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $KBD$.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $KBD$ подобны.