Страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 6 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

164. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 6 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, и $h$ — высота, проведённая к гипотенузе. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим эти отрезки как $c_a$ и $c_b$. По условию, $c_a = 6$ см и $c_b = 24$ см. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

1. Сначала найдём длину гипотенузы $c$. Она равна сумме длин её отрезков:
$c = c_a + c_b = 6 + 24 = 30$ см.

2. Теперь воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
$a^2 = c \cdot c_a$
$b^2 = c \cdot c_b$

3. Вычислим длину первого катета $a$, проекция которого равна $c_a = 6$ см:
$a^2 = 30 \cdot 6 = 180$
$a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Вычислим длину второго катета $b$, проекция которого равна $c_b = 24$ см:
$b^2 = 30 \cdot 24 = 720$
$b = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: катеты треугольника равны $6\sqrt{5}$ см и $12\sqrt{5}$ см.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу — 8 см. Найдите гипотенузу треугольника.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу — 8 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Согласно одному из них, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Пусть $a$ — данный катет, $c$ — гипотенуза, а $a_c$ — проекция катета $a$ на гипотенузу $c$.
По условию имеем:
$a = 12$ см
$a_c = 8$ см

Формула, связывающая эти величины, выглядит так:
$a^2 = c \cdot a_c$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы $c$:
$12^2 = c \cdot 8$
$144 = 8c$

Теперь решим уравнение относительно $c$:
$c = \frac{144}{8}$
$c = 18$

Таким образом, длина гипотенузы составляет 18 см.
Ответ: 18 см.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $AD=20$ см, $BC=12$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB=CD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, $\triangle ACD$ — прямоугольный с гипотенузой $AD$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Длина отрезка $HD$, который является проекцией боковой стороны $CD$ на большее основание, для равнобокой трапеции вычисляется как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения высоты $CH$ воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$. Высота, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками, на которые она делит гипотенузу, формулой $CH^2 = AH \cdot HD$.

Сначала найдем длину отрезка $AH$:

$AH = AD - HD = 20 - 4 = 16$ см.

Теперь вычислим высоту $h=CH$:

$h^2 = AH \cdot HD = 16 \cdot 4 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: высота трапеции равна 8 см.

Боковую сторону $CD$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle CHD$ по теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$CD^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$CD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Также боковую сторону можно было найти, используя метрические соотношения в $\triangle ACD$: квадрат катета $CD$ равен произведению гипотенузы $AD$ на проекцию этого катета на гипотенузу $HD$.

$CD^2 = AD \cdot HD = 20 \cdot 4 = 80$

$CD = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: боковая сторона трапеции равна $4\sqrt{5}$ см.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите диагонали ромба.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. Из точки O к стороне AD проведен перпендикуляр OH, который делит сторону на отрезки AH и HD.

По условию, длины этих отрезков равны 8 см и 18 см. Сторона ромба $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = AD = AH + HD = 8 + 18 = 26$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ является прямоугольным, где $\angle AOD = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — это половины диагоналей $AO = d_1/2$ и $DO = d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба $AD = a = 26$ см.

Отрезок OH является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в треугольнике $\triangle AOD$.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Отрезки AH и HD являются проекциями катетов AO и DO на гипотенузу AD соответственно.

Найдем квадраты длин половин диагоналей:

$AO^2 = AD \cdot AH = 26 \cdot 8 = 208$

$DO^2 = AD \cdot HD = 26 \cdot 18 = 468$

Теперь найдем длины половин диагоналей:

$AO = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

$DO = \sqrt{468} = \sqrt{36 \cdot 13} = 6\sqrt{13}$ см.

Чтобы найти длины полных диагоналей ($d_1$ и $d_2$), нужно удвоить длины их половин:

$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4\sqrt{13} = 8\sqrt{13}$ см.

$d_2 = BD = 2 \cdot DO = 2 \cdot 6\sqrt{13} = 12\sqrt{13}$ см.

Ответ: $8\sqrt{13}$ см и $12\sqrt{13}$ см.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Тогда $AB$ — меньшая боковая сторона, являющаяся также высотой трапеции, а $CD$ — большая боковая сторона. $BC$ и $AD$ — основания.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 5 см и 20 см. Пусть $K$ — точка касания на стороне $CD$. Тогда $CK = 5$ см и $KD = 20$ см. Длина стороны $CD$ равна сумме длин этих отрезков:$CD = CK + KD = 5 + 20 = 25$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.Пусть окружность касается сторон $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$ соответственно. Тогда:$CN = CK = 5$ см.$DL = DK = 20$ см.

Высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Тогда высота $h = AB = 2r$.Основание $BC$ состоит из отрезков $BN$ и $NC$. Основание $AD$ состоит из отрезков $AL$ и $LD$.Поскольку трапеция прямоугольная с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$, отрезки касательных от этих вершин до точек касания на перпендикулярной боковой стороне и на основаниях равны радиусу окружности. То есть, $AL = r$ и $BN = r$.Тогда длины оснований равны:$BC = BN + NC = r + 5$ см.$AD = AL + LD = r + 20$ см.

Для нахождения радиуса $r$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$.В этом треугольнике:1. Гипотенуза $CD = 25$ см.2. Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 2r$.3. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH$. Так как $ABCH$ — прямоугольник, $AH = BC$. Следовательно, $HD = AD - BC = (r + 20) - (r + 5) = 15$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.$(2r)^2 + 15^2 = 25^2$$4r^2 + 225 = 625$$4r^2 = 625 - 225$$4r^2 = 400$$r^2 = 100$$r = 10$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции:- Меньшая боковая сторона (высота): $AB = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.- Большая боковая сторона: $CD = 25$ см.- Меньшее основание: $BC = r + 5 = 10 + 5 = 15$ см.- Большее основание: $AD = r + 20 = 10 + 20 = 30$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:$P = AB + BC + CD + AD = 20 + 15 + 25 + 30 = 90$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырехугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.$20 + 25 = 15 + 30$$45 = 45$Периметр можно найти как $P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (20 + 25) = 2 \cdot 45 = 90$ см.

Ответ: 90 см.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть точка касания $K$ на стороне $CD$ делит её на отрезки $CK = 8$ см и $KD = 50$ см.

Нахождение длины боковой стороны

Длина боковой стороны $CD$ равна сумме длин отрезков, на которые её делит точка касания:

$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD = 58$ см.

Нахождение оснований трапеции

Используем свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной вершины: они равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Тогда для вершины $C$ имеем $CM = CK = 8$ см.

Для вершины $D$ имеем $DN = DK = 50$ см.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точки касания на основаниях являются их серединами. Следовательно, длина оснований равна:

Меньшее основание: $BC = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Большее основание: $AD = 2 \cdot DN = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Нахождение радиуса вписанной окружности

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $CHD$.

Катет $HD$ в равнобокой трапеции можно найти по формуле полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{100 - 16}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$ ($CH^2 + HD^2 = CD^2$):

$h^2 = CD^2 - HD^2$

$h^2 = 58^2 - 42^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$h^2 = (58 - 42)(58 + 42) = 16 \cdot 100 = 1600$

$h = \sqrt{1600} = 40$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 20 см, основания трапеции равны 16 см и 100 см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{6}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{6}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{6}$ см можно воспользоваться свойством высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе. Эта высота является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, если высота $h$ делит гипотенузу на отрезки $a$ и $b$, то $h = \sqrt{a \cdot b}$.

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{6}$, мы можем представить подкоренное выражение в виде произведения, например $6 = 2 \cdot 3$. Таким образом, если мы построим прямоугольный треугольник, у которого высота делит гипотенузу на отрезки длиной $a=2$ см и $b=3$ см, то длина этой высоты будет равна $\sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ см.

План построения:

1. Построить на прямой отрезок $AC$ длиной $2+3=5$ см, используя данный единичный отрезок.
2. Отметить на отрезке $AC$ точку $B$ так, чтобы $AB=2$ см и $BC=3$ см.
3. Построить полуокружность, для которой $AC$ является диаметром.
4. Из точки $B$ восстановить перпендикуляр к $AC$ до пересечения с полуокружностью в точке $D$.
5. Отрезок $BD$ будет искомым.

Описание построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отмерим данный отрезок длиной 1 см. Отложим от точки $A$ на прямой последовательно пять таких отрезков. Конец пятого отрезка обозначим точкой $C$. Длина отрезка $AC$ равна 5 см.
3. На отрезке $AC$ найдем точку $B$, отстоящую от точки $A$ на 2 см (конец второго единичного отрезка). Таким образом, $AB = 2$ см, а $BC = 3$ см.
4. Найдем середину отрезка $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем дуги окружности радиусом, большим половины длины $AC$, с разных сторон от прямой. Соединив точки пересечения дуг, получим серединный перпендикуляр, который пересечет $AC$ в его середине, точке $O$.
5. С центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OC$) проведем полуокружность над отрезком $AC$.
6. В точке $B$ построим прямую, перпендикулярную $AC$. Точку пересечения этой прямой с полуокружностью обозначим $D$.

Полученный отрезок $BD$ имеет длину $\sqrt{6}$ см.

Обоснование:

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Угол $\angle ADC$ является прямым, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$. Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный. Отрезок $BD$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике:

$BD^2 = AB \cdot BC$

$BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ см.

Ответ: Отрезок $BD$, построенный указанным способом, имеет длину $\sqrt{6}$ см.

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 см и 24 см.

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 см и 24 см.

Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема гласит, что квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$).

Формула теоремы Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

По условию задачи даны длины катетов: $a = 10$ см и $b = 24$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$c^2 = 10^2 + 24^2$

Выполним вычисления:

$c^2 = 100 + 576$
$c^2 = 676$

Теперь, чтобы найти длину гипотенузы $c$, извлечем квадратный корень из 676:

$c = \sqrt{676}$
$c = 26$ см

Ответ: 26 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 8 см и 2 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 8 см и 2 см.

Для нахождения неизвестного катета прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ – катеты, а $c$ – гипотенуза.

По условию задачи, гипотенуза $c = 8$ см, а один из катетов, например $b$, равен $2$ см. Нам необходимо найти второй катет $a$.

Выразим квадрат неизвестного катета $a$ из теоремы Пифагора:
$a^2 = c^2 - b^2$

Подставим известные значения в формулу:
$a^2 = 8^2 - 2^2$
$a^2 = 64 - 4$
$a^2 = 60$

Теперь найдем длину катета $a$, извлекая квадратный корень из 60:
$a = \sqrt{60}$

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители:
$a = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

Следовательно, длина неизвестного катета равна $2\sqrt{15}$ см.

Ответ: $2\sqrt{15}$ см.

173. Сторона квадрата равна $5\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

173. Сторона квадрата равна $5\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

Чтобы найти диагональ квадрата, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ — $d$. По условию задачи, $a = 5\sqrt{2}$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$d^2 = a^2 + a^2$

$d^2 = 2a^2$

Отсюда можно выразить формулу для диагонали квадрата:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь подставим известное значение стороны $a = 5\sqrt{2}$ см в эту формулу:

$d = (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Выполним вычисления:

$d = 5 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

174. Диагональ прямоугольника равна 50 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как $7:24$.

174. Диагональ прямоугольника равна 50 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 7 : 24.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Согласно условию, их длины относятся как 7:24. Это можно записать в виде $a = 7x$ и $b = 24x$, где x – коэффициент пропорциональности.

Диагональ прямоугольника (d), его длина (b) и ширина (a) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (сторон) равна квадрату гипотенузы (диагонали):
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим в это уравнение выражения для сторон и данное значение диагонали $d = 50$ см:
$(7x)^2 + (24x)^2 = 50^2$

Теперь решим это уравнение относительно x:
$49x^2 + 576x^2 = 2500$
$625x^2 = 2500$
$x^2 = \frac{2500}{625}$
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4} = 2$ (берем только положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной).

Зная коэффициент x, найдем длины сторон прямоугольника:
$a = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см
$b = 24x = 24 \cdot 2 = 48$ см

Ответ: стороны прямоугольника равны 14 см и 48 см.

175. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

175. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а высота, проведённая к основанию, – 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, в котором основание равно 10 см, а высота, проведенная к нему, – 8 см. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где $AC$ – основание, а $AB$ и $BC$ – боковые стороны. Пусть $BH$ – высота, проведенная к основанию $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH$ и $HC$.

Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, следовательно, треугольник $ABH$ является прямоугольным, в котором $AH$ и $BH$ – катеты, а боковая сторона $AB$ – гипотенуза.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = 5^2 + 8^2$
$AB^2 = 25 + 64$
$AB^2 = 89$

Отсюда найдем длину боковой стороны $AB$:
$AB = \sqrt{89}$ см.

Ответ: $\sqrt{89}$ см.