Номер 170, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{6}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{6}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{6}$ см можно воспользоваться свойством высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе. Эта высота является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, если высота $h$ делит гипотенузу на отрезки $a$ и $b$, то $h = \sqrt{a \cdot b}$.

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{6}$, мы можем представить подкоренное выражение в виде произведения, например $6 = 2 \cdot 3$. Таким образом, если мы построим прямоугольный треугольник, у которого высота делит гипотенузу на отрезки длиной $a=2$ см и $b=3$ см, то длина этой высоты будет равна $\sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ см.

План построения:

1. Построить на прямой отрезок $AC$ длиной $2+3=5$ см, используя данный единичный отрезок.
2. Отметить на отрезке $AC$ точку $B$ так, чтобы $AB=2$ см и $BC=3$ см.
3. Построить полуокружность, для которой $AC$ является диаметром.
4. Из точки $B$ восстановить перпендикуляр к $AC$ до пересечения с полуокружностью в точке $D$.
5. Отрезок $BD$ будет искомым.

Описание построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отмерим данный отрезок длиной 1 см. Отложим от точки $A$ на прямой последовательно пять таких отрезков. Конец пятого отрезка обозначим точкой $C$. Длина отрезка $AC$ равна 5 см.
3. На отрезке $AC$ найдем точку $B$, отстоящую от точки $A$ на 2 см (конец второго единичного отрезка). Таким образом, $AB = 2$ см, а $BC = 3$ см.
4. Найдем середину отрезка $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем дуги окружности радиусом, большим половины длины $AC$, с разных сторон от прямой. Соединив точки пересечения дуг, получим серединный перпендикуляр, который пересечет $AC$ в его середине, точке $O$.
5. С центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OC$) проведем полуокружность над отрезком $AC$.
6. В точке $B$ построим прямую, перпендикулярную $AC$. Точку пересечения этой прямой с полуокружностью обозначим $D$.

Полученный отрезок $BD$ имеет длину $\sqrt{6}$ см.

Обоснование:

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Угол $\angle ADC$ является прямым, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$. Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный. Отрезок $BD$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике:

$BD^2 = AB \cdot BC$

$BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ см.

Ответ: Отрезок $BD$, построенный указанным способом, имеет длину $\sqrt{6}$ см.