Номер 177, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

В данной задаче необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не указано, какие именно стороны прямоугольного треугольника даны (катеты или катет и гипотенуза). Для решения в обоих случаях используется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Случай 1: Данные стороны (7 см и 10 см) являются катетами.

В этом случае мы ищем гипотенузу $c$. Пусть катеты $a = 7$ см и $b = 10$ см. Подставим значения в теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$

Следовательно, длина третьей стороны (гипотенузы) равна $c = \sqrt{149}$ см.

Случай 2: Одна из данных сторон — катет, а другая — гипотенуза.

Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Поскольку 10 см > 7 см, гипотенузой может быть только сторона длиной 10 см. Тогда сторона длиной 7 см является одним из катетов. Пусть гипотенуза $c = 10$ см, а один из катетов $a = 7$ см. Найдем второй катет $b$:

$a^2 + b^2 = c^2$

$7^2 + b^2 = 10^2$

$b^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51$

Следовательно, длина третьей стороны (второго катета) равна $b = \sqrt{51}$ см.

Поскольку мы нашли два различных возможных значения для третьей стороны, задача имеет два решения.

Ответ: третья сторона треугольника может быть равна $\sqrt{149}$ см или $\sqrt{51}$ см. Задача имеет 2 решения.