Номер 182, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5:4$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 48 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5 : 4$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 48 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна $b$, а высота, проведённая к основанию, равна $h$. Основание треугольника обозначим как $a$.

По условию задачи, отношение боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, составляет 5:4. Это можно записать как:
$\frac{b}{h} = \frac{5}{4}$
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда боковая сторона $b = 5x$, а высота $h = 4x$.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит основание на два равных отрезка. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и половиной основания (второй катет).

По теореме Пифагора найдем половину основания $(\frac{a}{2})$:
$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$
Подставим наши выражения через $x$:
$(5x)^2 = (4x)^2 + (\frac{a}{2})^2$
$25x^2 = 16x^2 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 25x^2 - 16x^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 9x^2$
$\frac{a}{2} = \sqrt{9x^2} = 3x$

Следовательно, всё основание $a$ равно:
$a = 2 \cdot 3x = 6x$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = b + b + a = 2b + a$
По условию, периметр равен 48 см. Подставим выражения для сторон через $x$ в формулу периметра и составим уравнение:
$2 \cdot (5x) + 6x = 48$
$10x + 6x = 48$
$16x = 48$
$x = \frac{48}{16}$
$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем длины сторон треугольника:
Боковая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Основание: $a = 6x = 6 \cdot 3 = 18$ см.
Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 15 см и 18 см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны 15 см, основание равно 18 см.