Номер 180, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона равна 10 см, а высота $BF$ делит основание $AD$ на отрезки, меньший из которых равен 6 см. Найдите большее основание трапеции, если её диагональ равна 17 см.

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона равна 10 см, а высота $BF$ делит основание $AD$ на отрезки, меньший из которых равен 6 см. Найдите большее основание трапеции, если её диагональ равна 17 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, боковая сторона $AB = 10$ см. Высота $BF$, опущенная на основание $AD$, делит его на два отрезка: $AF$ и $FD$.

В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от большего основания (в данном случае $AF$), равен полуразности оснований, а второй отрезок ($FD$) равен полусумме оснований. Так как основания имеют положительную длину, то отрезок, равный полуразности, всегда меньше отрезка, равного полусумме. Следовательно, меньший из отрезков, о котором говорится в условии, это $AF$, и его длина равна 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABF$ (угол $\angle AFB = 90^\circ$, так как $BF$ — высота). В нём известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AF = 6$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета, который является высотой трапеции $BF$:
$BF^2 = AB^2 - AF^2$
$BF = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BFD$ (угол $\angle BFD = 90^\circ$). В нём известны диагональ $BD$ (которая является гипотенузой) $BD = 17$ см и катет $BF = 8$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $FD$:
$FD^2 = BD^2 - BF^2$
$FD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Большее основание $AD$ состоит из суммы длин отрезков $AF$ и $FD$. Найдем его длину:
$AD = AF + FD = 6 + 15 = 21$ см.

Ответ: 21 см.